Dada a função bijetora y = f(x), encontre uma fórmula para f^-1. f(x) = x² - 2x + 1, x ≥ 1

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é bijetora, ou seja, ela tem uma correspondência única entre cada valor de e . A função dada é com . Nosso objetivo aqui é encontrar a função inversa . Para isso, vamos precisar entender como inverter funções e resolver equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa é aquela que “desfaz” a função original. Ou seja, se , então . Para encontrar , vamos trocar por e resolver a equação para .

Passo 3

Começamos trocando por :
Agora, nosso objetivo é isolar . Vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero:
Isso nos dá uma equação quadrática na forma padrão:

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática em relação a , vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante ( ):
Então, a solução para é:

Passo 5

Como a função original está definida para , precisamos escolher a solução que satisfaz essa condição. Se escolhermos o sinal negativo, , poderíamos obter valores de menores que 1, o que não atende ao domínio da função original. Portanto, a solução correta é:
Assim, a função inversa é:

Resposta

A função inversa é .

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