Dada a função bijetora y = f(x), encontre uma fórmula para f^-1. f(x) = x² - 2x + 1, x ≥ 1

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é bijetora, ou seja, ela tem uma correspondência única entre cada valor de e . A função dada é com . Nosso objetivo aqui é encontrar a função inversa . Para isso, vamos precisar entender como inverter funções e resolver equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa é aquela que “desfaz” a função original. Ou seja, se , então . Para encontrar , vamos trocar por e resolver a equação para .

Passo 3

Começamos trocando por :
Agora, nosso objetivo é isolar . Vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero:
Isso nos dá uma equação quadrática na forma padrão:

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática em relação a , vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante ( ):
Então, a solução para é:

Passo 5

Como a função original está definida para , precisamos escolher a solução que satisfaz essa condição. Se escolhermos o sinal negativo, , poderíamos obter valores de menores que 1, o que não atende ao domínio da função original. Portanto, a solução correta é:
Assim, a função inversa é:

Resposta

A função inversa é .

Exercícios relacionados

Calcular: lim t 1[3 f(t)-12 g(t)]
Seja f uma função bijetora, isto é, uma função um a um (injetora) e sobrejetora. Se f(3) = 7, encontre f^(-1)(7).
Escreva uma fórmula para a função inversa f^-1 fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que Im(f^-1) = Dom(f) e Dom(f inverso) = Im(f).] f(x) = e^(2x - 1)
Resolva cada equação em x. 1 + arctan(x) = raiz(3)