Dada a função bijetora
, encontre uma fórmula para
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função que é bijetora, ou seja, ela tem uma correspondência única entre cada valor de
e
. A função dada é
com
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função inversa
. Para isso, vamos precisar entender como inverter funções e resolver equações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa
é aquela que “desfaz” a função original. Ou seja, se
, então
. Para encontrar
, vamos trocar
por
e resolver a equação para
.
Passo 3
Começamos trocando
por
:
Agora, nosso objetivo é isolar
. Vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero:
Isso nos dá uma equação quadrática na forma padrão:
Passo 4
Para resolver essa equação quadrática em relação a
, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante (
):
Então, a solução para
é:
Passo 5
Como a função original está definida para
, precisamos escolher a solução que satisfaz essa condição. Se escolhermos o sinal negativo,
, poderíamos obter valores de
menores que 1, o que não atende ao domínio da função original. Portanto, a solução correta é:
Assim, a função inversa é:
Resposta
A função inversa é
.
Exercícios relacionados
Calcular:
Seja
uma função bijetora, isto é, uma função um a um (injetora) e sobrejetora. Se
, encontre
.
Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Resolva cada equação em
.