Escreva uma fórmula para a função inversa f^-1 fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que Im(f^-1) = Dom(f) e Dom(f inverso) = Im(f).] f(x) = e^(2x - 1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a sua função inversa . Além disso, devemos especificar o domínio e o conjunto imagem da função inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções inversas e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função inversa basicamente “desfaz” a função original. Ou seja, se , então . Nosso objetivo é expressar em termos de .

Passo 3

Começamos substituindo por :

Passo 4

Para isolar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 5

Agora, resolvemos para :

Passo 6

Portanto, a função inversa é:

Passo 7

Agora, vamos determinar o domínio e o conjunto imagem da função inversa. Sabemos que:
  • O domínio de é igual ao conjunto imagem de .
  • O conjunto imagem de é igual ao domínio de .

Passo 8

Analisando a função original :
  • O domínio de é todo o conjunto dos números reais ( ), porque a exponencial está definida para qualquer real.
  • O conjunto imagem de é , já que sempre resulta em valores positivos.

Passo 9

Portanto:
  • O domínio de é .
  • O conjunto imagem de é .

Resposta

A função inversa é , com domínio e conjunto imagem .

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