Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a sua função inversa
. Além disso, devemos especificar o domínio e o conjunto imagem da função inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções inversas e propriedades de exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função inversa basicamente “desfaz” a função original. Ou seja, se
, então
. Nosso objetivo é expressar
em termos de
.
Passo 3
Começamos substituindo
por
:
Passo 4
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Passo 6
Portanto, a função inversa é:
Passo 7
Agora, vamos determinar o domínio e o conjunto imagem da função inversa. Sabemos que:
- O domínio de
é igual ao conjunto imagem de . - O conjunto imagem de
é igual ao domínio de .
Passo 8
Analisando a função original
:
- O domínio de
é todo o conjunto dos números reais ( ), porque a exponencial está definida para qualquer real. - O conjunto imagem de
é , já que sempre resulta em valores positivos.
Passo 9
Portanto:
- O domínio de
é . - O conjunto imagem de
é .
Resposta
A função inversa é
, com domínio
e conjunto imagem
.
Exercícios relacionados
Dada a função bijetora
, encontre uma fórmula para
.
Calcular:
Resolva cada equação em
.
Classifique cada função como uma função afim, função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.