Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
f(x, y) = { x^4 / (2x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0); 0, (x, y) = (0, 0) } Resp.: Existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se existem as derivadas parciais da função no ponto . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivadas parciais e calcular os limites necessários para ver se essas derivadas existem nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . A definição de derivada parcial em relação a é:
Vamos calcular :
Agora, substituindo na definição:
Então, a derivada parcial de em relação a no ponto existe e é igual a 0.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . A definição é:
Vamos calcular :
Substituindo na definição:
Portanto, a derivada parcial de em relação a no ponto também existe e é igual a 0.

Resposta

Existe.

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