A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se uma formiga está no ponto , qual direção e sentido ela deve andar de modo que a temperatura tenha sua menor taxa de variação? Qual é esta taxa? Resp: (b) Deve andar na direção e sentido de , taxa .

Passo 1

Vamos lá! O problema nos dá a função que descreve a temperatura em cada ponto de uma placa de metal:
Queremos descobrir em qual direção e sentido uma formiga no ponto deve andar para que a variação da temperatura seja a menor possível. Além disso, precisamos encontrar qual é essa taxa de variação mínima.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente de uma função, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude representa a taxa máxima de aumento.
Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente de é dado por:

Passo 5

A direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente é dada pelo gradiente. Para encontrar a direção de menor variação da temperatura, precisamos ir na direção oposta ao gradiente.
Então, a direção de menor variação é:

Passo 6

Mas queremos uma direção unidade (somente a direção, sem a magnitude). Para simplificar, podemos ignorar o denominador comum e considerar apenas os termos numéricos:
A direção é proporcional a , que simplifica para .

Passo 7

Portanto, a direção que a formiga deve seguir é .

Passo 8

Agora, vamos calcular a taxa de variação mínima. Sabemos que a taxa de variação máxima é a magnitude do gradiente:
A taxa mínima será a negativa dessa magnitude:
í

Resposta

(b) Deve andar na direção e sentido de , taxa .

Exercícios relacionados

Dada a função:
Determine se as derivadas parciais de são contínuas em . É diferenciável em ? Resp: Sim é diferenciável em
Seja .
Mostre que para todo .
Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.
Determine a equação do plano tangente à superfície dada pelo gráfico da função no ponto .