A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se uma formiga está no ponto
, qual direção e sentido ela deve andar de modo que a temperatura tenha sua menor taxa de variação? Qual é esta taxa? Resp: (b) Deve andar na direção e sentido de
, taxa
.
Passo 1
Vamos lá! O problema nos dá a função que descreve a temperatura em cada ponto de uma placa de metal:
Queremos descobrir em qual direção e sentido uma formiga no ponto
deve andar para que a variação da temperatura seja a menor possível. Além disso, precisamos encontrar qual é essa taxa de variação mínima.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente de uma função, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude representa a taxa máxima de aumento.
Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente de
é dado por:
Passo 5
A direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente é dada pelo gradiente. Para encontrar a direção de menor variação da temperatura, precisamos ir na direção oposta ao gradiente.
Então, a direção de menor variação é:
Passo 6
Mas queremos uma direção unidade (somente a direção, sem a magnitude). Para simplificar, podemos ignorar o denominador comum e considerar apenas os termos numéricos:
A direção é proporcional a
, que simplifica para
.
Passo 7
Portanto, a direção que a formiga deve seguir é
.
Passo 8
Agora, vamos calcular a taxa de variação mínima. Sabemos que a taxa de variação máxima é a magnitude do gradiente:
A taxa mínima será a negativa dessa magnitude:
Resposta
(b) Deve andar na direção e sentido de
, taxa
.
Exercícios relacionados
Dada a função:
Determine se as derivadas parciais de
são contínuas em
. É diferenciável em
? Resp: Sim é diferenciável em
Seja
.
Mostre que para todo
.
Mostre que
Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.
Determine a equação do plano tangente à superfície
dada pelo gráfico da função
no ponto
.