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Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine:
A) A probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca.
B) A probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo-se que as três bolas não são da mesma cor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre probabilidade em uma urna que tem 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. A gente vai tirar 3 bolas, uma de cada vez, sem colocar de volta. Precisamos calcular duas probabilidades:
A) Tirar exatamente 2 bolas pretas e 1 bola branca.
B) Tirar exatamente 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo que as três bolas não são todas da mesma cor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é probabilidade. Probabilidade é a chance de um evento acontecer, e a gente calcula dividindo o número de eventos favoráveis pelo total de possíveis eventos.

Passo 3

Vamos começar pelo item A. Precisamos achar a probabilidade de tirar 2 bolas pretas e 1 branca. Para isso, vamos calcular o total de maneiras de tirar 3 bolas da urna e depois quantas dessas maneiras têm exatamente 2 pretas e 1 branca.

Passo 4

O total de maneiras de tirar 3 bolas de um total de 8 (5 brancas + 3 pretas) é dado pela combinação:
Ctotal = binom83 = 8!3!(8-3)! = 56

Passo 5

Agora, vamos calcular as maneiras de tirar 2 bolas pretas e 1 branca. Primeiro, escolhemos 2 das 3 pretas:
Cpretas = binom32 = 3
Depois, escolhemos 1 das 5 brancas:
Cbrancas = binom51 = 5
Multiplicando, temos:
Cfavorab<= = 3 times 5 = 15

Passo 6

A probabilidade de tirar 2 pretas e 1 branca é o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos:
P(A) = Cfavorab<=Ctotal = 1556 approx 0,2679

Passo 7

Agora, vamos para o item B. Queremos a probabilidade de tirar 2 pretas e 1 branca, sabendo que as três bolas não são todas da mesma cor. Primeiro, vamos calcular a probabilidade de as três bolas serem todas brancas ou todas pretas.

Passo 8

Número de maneiras de tirar 3 brancas:
Ctodas brancas = binom53 = 10
Número de maneiras de tirar 3 pretas:
Ctodas pretas = binom33 = 1
Total de maneiras de todas da mesma cor:
Cmesma cor = 10 + 1 = 11

Passo 9

Então, o número de maneiras onde as 3 bolas não são todas da mesma cor é:
Cnão mesma cor = Ctotal - Cmesma cor = 56 - 11 = 45 ã

Passo 10

Agora, queremos a probabilidade de ter 2 pretas e 1 branca dentre essas 45 possibilidades. Já sabemos que há 15 maneiras favoráveis para isso.

Passo 11

Então, a probabilidade condicional é:
P(B) = Cfavorab<=Cnão mesma cor = 1545 = 13 approx 0,3333 ã

Resposta

A) A probabilidade de serem retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca é aproximadamente 0,2679 (ou 26,79%).
B) A probabilidade de serem retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo que as três bolas não são da mesma cor, é aproximadamente 0,3333 (ou 33,33%).

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