Dada a função contínua
, mostre que a integral abaixo o tem valor indicado,
quaisquer que sejam
e
, desde que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma integral específica envolvendo a derivada da função de Heaviside, chamada
, multiplicada por uma função contínua
, resulta em
. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente integrais e distribuição de funções como a delta de Dirac. Vamos precisar entender o que é a derivada da função
e como ela se comporta dentro de uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. Essa função é conhecida como função de Heaviside e é igual a 0 para
e 1 para
. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos pensar na derivada dessa função
. A derivada da função de Heaviside é conhecida como a delta de Dirac, representada por
. Então temos:
A delta de Dirac não é uma função no sentido tradicional, mas sim uma distribuição que “pega” o valor da função onde o argumento é zero.
Passo 4
Com isso, podemos reescrever a integral original substituindo a derivada de
por
:
Passo 5
A propriedade fundamental da delta de Dirac é que, quando integrada contra uma função, ela “seleciona” o valor da função no ponto onde o argumento da delta é zero. Matemáticamente,
No nosso caso, os limites de integração são
e
, e sabemos que
. Portanto, a propriedade ainda vale.
Passo 6
Aplicando essa propriedade à nossa integral, temos:
Resposta
Portanto,