Dada a função contínua f(x), mostre que a integral abaixo o tem valor indicado,
integralx-^x+ d x d theta(x-x0)d x f(x)=f(x0)
quaisquer que sejam x-e x+, desde que x-.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma integral específica envolvendo a derivada da função de Heaviside, chamada theta(x - x0), multiplicada por uma função contínua f(x), resulta em f(x0). A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente integrais e distribuição de funções como a delta de Dirac. Vamos precisar entender o que é a derivada da função theta e como ela se comporta dentro de uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função theta(x - x0). Essa função é conhecida como função de Heaviside e é igual a 0 para x < x0 e 1 para x >= x0. Ou seja,
theta(x - x0) = 0, & se x < x0 1, & se x >= x0

Passo 3

Agora, vamos pensar na derivada dessa função theta(x - x0). A derivada da função de Heaviside é conhecida como a delta de Dirac, representada por de. Então temos:
d theta(x - x0)dx = de
A delta de Dirac não é uma função no sentido tradicional, mas sim uma distribuição que “pega” o valor da função onde o argumento é zero.

Passo 4

Com isso, podemos reescrever a integral original substituindo a derivada de theta por de:
integralx-^x+ dx , de

Passo 5

A propriedade fundamental da delta de Dirac é que, quando integrada contra uma função, ela “seleciona” o valor da função no ponto onde o argumento da delta é zero. Matemáticamente,
integral-infty^infty dx , de
No nosso caso, os limites de integração são x- e x+, e sabemos que x- < x0 < x+. Portanto, a propriedade ainda vale.

Passo 6

Aplicando essa propriedade à nossa integral, temos:
integralx-^x+ dx , de

Resposta

Portanto,
integralx-^x+ dx d theta(x - x0)dx f(x) = f(x0)

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