Encontre a solução do movimento transversal da corda
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a solução do movimento transversal de uma corda, representado pela função
. Isso está ligado ao estudo de Ondulatória, que faz parte da Física. Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação das Ondas, que descreve como as ondas se propagam em uma corda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Equação das Ondas para uma corda. Ela é dada por:
Aqui,
é a velocidade da onda na corda,
é a função que descreve a posição da corda em qualquer ponto
e tempo
.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos o método de Separação de Variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Ou seja, assumimos:
Passo 4
Substituindo
na Equação das Ondas, temos:
Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Onde
é uma constante de separação.
Passo 5
Agora, temos duas equações separadas:
- Para
:
A solução geral dessa equação é:
- Para
:
A solução geral dessa equação é:
Passo 6
Juntando as soluções de
e
, a solução geral da Equação das Ondas é:
Isso pode ser reescrito de forma mais compacta usando funções de onda que se movimentam para a direita e para a esquerda:
Onde
e
são funções arbitrárias que representam ondas viajando nas direções positiva e negativa ao longo da corda.
Resposta
A solução geral do movimento transversal da corda é:
Onde
e
são funções arbitrárias que descrevem ondas se propagando para a direita e para a esquerda, respectivamente, com velocidade
.