Mostre que a integral abaixo tem o valor indicado,
quaisquer que sejam
e
, desde que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a integral
é igual a 1, desde que
. Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente integração e derivação envolvendo a função degrau de Heaviside (
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função
e como sua derivada se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. A função de Heaviside,
, é definida da seguinte maneira:
Quando temos
, isso significa que a função salta de 0 para 1 em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
A derivada da função de Heaviside é a função delta de Dirac,
. Então,
Passo 4
Substituindo a derivada na integral original, temos:
A função delta de Dirac,
, tem a propriedade de “capturar” o valor onde seu argumento é zero, ou seja, em
. Portanto, a integral de
sobre um intervalo que inclui
é igual a 1.
Passo 5
Dado que
, o ponto
está dentro do intervalo de integração. Assim,
Resposta
A integral dada é igual a 1.