Mostre que a integral abaixo tem o valor indicado,
integralx-^x+ d x d theta(x-x0)d x=1
quaisquer que sejam x-e x+, desde que x-.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a integral
integralx-^x+ dx d theta(x - x0)dx = 1
é igual a 1, desde que . Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente integração e derivação envolvendo a função degrau de Heaviside ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função e como sua derivada se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função theta(x) = 0, & se x < 0 1, & se x >= 0 . A função de Heaviside, , é definida da seguinte maneira:
Quando temos , isso significa que a função salta de 0 para 1 em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de d theta(x - x0)dx em relação a d theta(x - x0)dx = de:
A derivada da função de Heaviside é a função delta de Dirac, . Então,

Passo 4

Substituindo a derivada na integral original, temos:
integralx-^x+ dx , de
A função delta de Dirac, , tem a propriedade de “capturar” o valor onde seu argumento é zero, ou seja, em . Portanto, a integral de sobre um intervalo que inclui é igual a 1.

Passo 5

Dado que integralx-^x+ dx , de, o ponto está dentro do intervalo de integração. Assim,

Resposta

A integral dada é igual a 1.

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