Descreva matematicamente dois trens de onda infinitos, cada um se movimentando em uma direção na corda, tais que a soma dos dois no intervalo
seja solução de
neste intervalo, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever matematicamente dois trens de onda infinitos que se movem em direções opostas numa corda, de forma que a soma desses dois seja uma solução para
no intervalo
para todo
. Vamos usar os conceitos de ondas e a superposição de ondas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma onda que se propaga em uma direção pode ser representada por uma função matemática. Se temos uma onda se movendo para a direita, podemos escrever sua equação como
, onde:
-
é a amplitude, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a posição, -
é o tempo.
Para uma onda se movendo para a esquerda, a equação fica
.
Passo 3
O enunciado pede que a soma dessas duas ondas seja uma solução para
. Isso significa que
. Vamos somar as duas funções:
Passo 4
Utilizando a identidade trigonométrica
, podemos simplificar a soma:
Isso mostra que a soma das duas ondas resulta em uma onda estacionária, que é uma solução válida para a equação de onda no intervalo
.
Resposta
Os dois trens de onda infinitos são:
A soma deles é: