Descreva matematicamente dois trens de onda infinitos, cada um se movimentando em uma direção na corda, tais que a soma dos dois no intervalo [0, L] seja solução de f(x, t) neste intervalo, para todo t ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever matematicamente dois trens de onda infinitos que se movem em direções opostas numa corda, de forma que a soma desses dois seja uma solução para no intervalo para todo . Vamos usar os conceitos de ondas e a superposição de ondas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma onda que se propaga em uma direção pode ser representada por uma função matemática. Se temos uma onda se movendo para a direita, podemos escrever sua equação como , onde:
  • é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a posição,
  • é o tempo.
Para uma onda se movendo para a esquerda, a equação fica .

Passo 3

O enunciado pede que a soma dessas duas ondas seja uma solução para . Isso significa que . Vamos somar as duas funções:

Passo 4

Utilizando a identidade trigonométrica , podemos simplificar a soma:
Isso mostra que a soma das duas ondas resulta em uma onda estacionária, que é uma solução válida para a equação de onda no intervalo .

Resposta

Os dois trens de onda infinitos são:
A soma deles é:

Exercícios relacionados