Dada a função f: R^2 -> R, definida por f(x, y) = log(1 + x^2 + y^2), determine seus pontos críticos e use o teste da segunda derivada para descobrir a natureza desses pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e usar o teste da segunda derivada para descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e testes de concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso acontece quando e .

Passo 5

Então, o único ponto crítico é .

Passo 6

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desse ponto. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:

Passo 7

No ponto crítico , essas derivadas se tornam:

Passo 8

Calculamos o discriminante :

Passo 9

Como e , isso indica que o ponto é um mínimo local da função.

Resposta

O ponto crítico é um mínimo local da função .

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