Dada a função
, definida por
, determine seus pontos críticos e use o teste da segunda derivada para descobrir a natureza desses pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e usar o teste da segunda derivada para descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e testes de concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso acontece quando
e
.
Passo 5
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 6
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desse ponto. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
Passo 7
No ponto crítico
, essas derivadas se tornam:
Passo 8
Calculamos o discriminante
:
Passo 9
Como
e
, isso indica que o ponto
é um mínimo local da função.
Resposta
O ponto crítico
é um mínimo local da função
.
Exercícios relacionados
Determine os pontos de máximo e mínimo da função
, definida por
Sejam
e
funções de classe
tais que
Aplique uma fórmula semelhante para calcular
em que
e
Determine os pontos de máximo é mínimo de
restrita ao conjunto
Marque abaixo a Equação Diferencial de
ordem que é separável.
d)
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