Determine os pontos de máximo é mínimo de f(x, y, z) = x + y restrita ao conjunto S = {(x, y, z) in R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1}

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos, mas fazendo isso apenas dentro do conjunto , que é a esfera . Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos multiplicadores de Lagrange. Quando queremos otimizar uma função sujeita a uma restrição , o método diz que no ponto de máximo ou mínimo, o gradiente de será paralelo ao gradiente de . Matematicamente, isso é expresso como:
onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, temos e a restrição . Primeiro, calculamos os gradientes:

Passo 4

Segundo o método, temos que:
Isso gera o sistema de equações:

Passo 5

Vamos analisar a equação (3): . Isso nos dá duas possibilidades:
Se , então das equações (1) e (2), teríamos , o que não faz sentido. Portanto, a única possibilidade é que .

Passo 6

Com , a restrição (4) fica . Das equações (1) e (2), temos:
Igualando as duas expressões para :

Passo 7

Como e , substituímos na restrição :
Portanto, .

Passo 8

Agora, temos dois pontos candidatos:
Vamos calcular o valor de em cada um deles:

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo da função restrita ao conjunto são:
  • Máximo em com valor
  • Mínimo em com valor

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