Determine os pontos de máximo é mínimo de
restrita ao conjunto
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que encontrar os pontos onde a função
atinge seus valores máximos e mínimos, mas fazendo isso apenas dentro do conjunto
, que é a esfera
. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos multiplicadores de Lagrange. Quando queremos otimizar uma função
sujeita a uma restrição
, o método diz que no ponto de máximo ou mínimo, o gradiente de
será paralelo ao gradiente de
. Matematicamente, isso é expresso como:
onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema, temos
e a restrição
. Primeiro, calculamos os gradientes:
Passo 4
Segundo o método, temos que:
Isso gera o sistema de equações:
Passo 5
Vamos analisar a equação (3):
. Isso nos dá duas possibilidades:
Se
, então das equações (1) e (2), teríamos
, o que não faz sentido. Portanto, a única possibilidade é que
.
Passo 6
Com
, a restrição (4) fica
. Das equações (1) e (2), temos:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 7
Como
e
, substituímos na restrição
:
Portanto,
.
Passo 8
Agora, temos dois pontos candidatos:
Vamos calcular o valor de
em cada um deles:
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo da função
restrita ao conjunto
são:
- Máximo em
com valor - Mínimo em
com valor