Determine os pontos de máximo e mínimo da função , definida por

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis: . O que a gente precisa fazer é encontrar os pontos onde essa função atinge seus máximos e mínimos. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para identificar os pontos críticos onde os máximos e mínimos podem estar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
Simplificando:
A derivada parcial em relação a é:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de e onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Primeiro, para :
Como nunca é zero, temos duas possibilidades:
  1. , o que só acontece se e .
Então, é uma das soluções.

Passo 4

Agora, vamos substituir na derivada parcial em relação a :
O que simplifica para 0 = 0, ou seja, qualquer valor de satisfaz essa equação quando .
Portanto, todos os pontos na forma são candidatos a pontos críticos.

Passo 5

Para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela, precisamos analisar a segunda derivada ou o comportamento da função ao redor desses pontos.
Observando a função , percebemos que quando , para qualquer .
Além disso, para , a função é sempre positiva porque todos os termos são elevados a potências pares e é sempre positivo.
Isso indica que os pontos onde são pontos de mínimo local, já que a função atinge o menor valor possível (zero) nesses pontos.

Resposta

Os pontos de mínimo da função são todos os pontos na forma para qualquer valor de . Não há pontos de máximo na função.

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Dada a função , definida por , determine seus pontos críticos e use o teste da segunda derivada para descobrir a natureza desses pontos.
Determine os pontos de máximo é mínimo de restrita ao conjunto