Determine os pontos de máximo e mínimo da função
, definida por
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis:
. O que a gente precisa fazer é encontrar os pontos onde essa função atinge seus máximos e mínimos. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para identificar os pontos críticos onde os máximos e mínimos podem estar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a
é:
Simplificando:
A derivada parcial em relação a
é:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
e
onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Primeiro, para
:
Como
nunca é zero, temos duas possibilidades:
-
-
, o que só acontece se e .
Então,
é uma das soluções.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na derivada parcial em relação a
:
O que simplifica para 0 = 0, ou seja, qualquer valor de
satisfaz essa equação quando
.
Portanto, todos os pontos na forma
são candidatos a pontos críticos.
Passo 5
Para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela, precisamos analisar a segunda derivada ou o comportamento da função ao redor desses pontos.
Observando a função
, percebemos que quando
,
para qualquer
.
Além disso, para
, a função é sempre positiva porque todos os termos são elevados a potências pares e
é sempre positivo.
Isso indica que os pontos onde
são pontos de mínimo local, já que a função atinge o menor valor possível (zero) nesses pontos.
Resposta
Os pontos de mínimo da função são todos os pontos na forma
para qualquer valor de
. Não há pontos de máximo na função.
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e
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e
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Dica: As entradas da matriz jacobiana de
são
e
.
Dada a função
, definida por
, determine seus pontos críticos e use o teste da segunda derivada para descobrir a natureza desses pontos.
Determine os pontos de máximo é mínimo de
restrita ao conjunto