Sejam f: R^3 -> R e g: R^3 -> R^3 funções de classe C^1 tais que
(f o g)(x, y, z) = f(g(x, y, z)) = f(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))
Aplique uma fórmula semelhante para calcular D_2(f o g) em que f(x, y, z) = x^3 + e^(y^2) + cos(z) e g(x, y, z) = (x * e^y, sen(y * z), x^2 * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada parcial em relação à segunda variável, , onde temos duas funções:
  • , definida por
  • , definida por
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis, que nos ajuda a encontrar derivadas de composições de funções. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis de e também as derivadas parciais de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se , ou seja, , então a derivada parcial de em relação a é dada por:
Aqui, são as componentes da função , ou seja, , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a :
Substituindo pelas expressões de :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Resposta

Assim, a derivada parcial em relação à segunda variável é:

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