Sejam e funções de classe tais que
Aplique uma fórmula semelhante para calcular em que e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada parcial em relação à segunda variável, , onde temos duas funções:
  • , definida por
  • , definida por
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis, que nos ajuda a encontrar derivadas de composições de funções. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis de e também as derivadas parciais de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se , ou seja, , então a derivada parcial de em relação a é dada por:
Aqui, são as componentes da função , ou seja, , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a :
Substituindo pelas expressões de :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Resposta

Assim, a derivada parcial em relação à segunda variável é:

Exercícios relacionados

Sejam e funções de classe tais que
Usando a regra da cadeia verifique que
ou para os masoquistas
Dica: As entradas da matriz jacobiana de são e .
Sejam e dadas por
Calcule as matrizes jacobianas de e ;
Determine os pontos de máximo e mínimo da função , definida por
Dada a função , definida por , determine seus pontos críticos e use o teste da segunda derivada para descobrir a natureza desses pontos.