Sejam
e
funções de classe
tais que
Aplique uma fórmula semelhante para calcular
em que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada parcial em relação à segunda variável,
, onde temos duas funções:
-
, definida por -
, definida por
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis, que nos ajuda a encontrar derivadas de composições de funções. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis de
e também as derivadas parciais de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
, ou seja,
, então a derivada parcial de
em relação a
é dada por:
Aqui,
são as componentes da função
, ou seja,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
:
Substituindo
pelas expressões de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Resposta
Assim, a derivada parcial em relação à segunda variável é:
Exercícios relacionados
Sejam
e
funções de classe
tais que
Usando a regra da cadeia verifique que
ou para os masoquistas
Dica: As entradas da matriz jacobiana de
são
e
.
Sejam
e
dadas por
Calcule as matrizes jacobianas de
e
;
Determine os pontos de máximo e mínimo da função
, definida por
Dada a função
, definida por
, determine seus pontos críticos e use o teste da segunda derivada para descobrir a natureza desses pontos.