Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde temos a função
. O que precisamos fazer é encontrar as assíntotas (verticais, horizontais ou inclinadas), os valores críticos de primeira e segunda ordem, os extremos relativos e absolutos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e, por fim, esboçar o gráfico da função indicando os interceptos com os eixos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é zero, já que o valor da função tende ao infinito nesses pontos.
Temos o denominador
. Vamos resolver
:
Então, as assíntotas verticais estão em
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se existe assíntota horizontal ou assíntota inclinada. Para funções racionais, comparamos os graus do numerador e do denominador.
O numerador é
(grau 1) e o denominador é
(grau 2). Como o grau do denominador é maior que o do numerador, existe uma assíntota horizontal.
Para encontrar a assíntota horizontal, dividimos os coeficientes dos termos de maior grau:
Então, a assíntota horizontal é
(lembrando que adicionamos o “+1” na função original).
Passo 4
Vamos agora encontrar os interceptos.
- Intercepto com o eixo
: é o valor de .
Então, o intercepto com
é
.
- Interceptos com o eixo
: são os valores de onde .
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
e
. Porém,
é uma assíntota vertical, então apenas
é intercepto com
.
Portanto, o intercepto com
é
.
Passo 5
Vamos encontrar as derivadas para identificar os valores críticos e os comportamentos da função.
Primeira derivada de
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos encontrar os valores críticos onde
ou não existe.
A derivada
nunca é igual a zero, pois o numerador é sempre negativo ou zero.
Ocorre que
não existe quando o denominador é zero, ou seja, em
e
, que já identificamos como assíntotas verticais.
Portanto, não há valores críticos onde
.
Passo 7
Como não temos valores críticos, não há extremos relativos ou absolutos na função.
Passo 8
Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento observando o sinal da primeira derivada
.
O numerador é sempre negativo ou zero, e o denominador é sempre positivo (exceto nos pontos
e
).
Portanto,
para todo
no domínio da função.
Isso significa que a função é decrescente em todos os intervalos onde está definida.
Passo 9
Agora, vamos calcular a segunda derivada para encontrar pontos de inflexão e analisar a concavidade.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Vamos aplicar a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 10
Vamos encontrar os pontos de inflexão onde
ou não existe.
-
quando o numerador é zero: => . Porém, é uma assíntota vertical, então não é um ponto de inflexão. -
não existe em e , que já são assíntotas verticais.
Portanto, não há pontos de inflexão na função.
Passo 11
Vamos analisar os intervalos de concavidade observando o sinal da segunda derivada
.
-
Para
: é negativo e é negativo (porque para ), então . A função é côncava para cima. -
Para
: é positivo e é negativo, então . A função é côncava para baixo. -
Para
: é positivo e é positivo, então . A função é côncava para cima.
Passo 12
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função:
-
Assíntotas Verticais:
e . -
Assíntota Horizontal:
. -
Interceptos:
e . -
Crescimento/Decrescimento: A função é decrescente em todo o seu domínio.
-
Concavidade:
- Côncava para cima em
e . - Côncava para baixo em
.
- Côncava para cima em
Não há pontos de inflexão nem extremos relativos ou absolutos.
Resposta
A função
possui assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, interceptos nos pontos
e
. Ela é decrescente em todo o seu domínio, côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo em
. Não há extremos relativos ou absolutos e nem pontos de inflexão. O gráfico apresenta as características mencionadas e respeita as assíntotas estabelecidas.
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