Dada a função f(x), determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
e) f(x) = (x + 2) / (x^2 - 4) + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde temos a função . O que precisamos fazer é encontrar as assíntotas (verticais, horizontais ou inclinadas), os valores críticos de primeira e segunda ordem, os extremos relativos e absolutos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e, por fim, esboçar o gráfico da função indicando os interceptos com os eixos e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é zero, já que o valor da função tende ao infinito nesses pontos.
Temos o denominador . Vamos resolver :
Então, as assíntotas verticais estão em e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se existe assíntota horizontal ou assíntota inclinada. Para funções racionais, comparamos os graus do numerador e do denominador.
O numerador é (grau 1) e o denominador é (grau 2). Como o grau do denominador é maior que o do numerador, existe uma assíntota horizontal.
Para encontrar a assíntota horizontal, dividimos os coeficientes dos termos de maior grau:
Então, a assíntota horizontal é (lembrando que adicionamos o “+1” na função original).

Passo 4

Vamos agora encontrar os interceptos.
  • Intercepto com o eixo : é o valor de .
Então, o intercepto com é .
  • Interceptos com o eixo : são os valores de onde .
Resolvendo a equação quadrática:
Então, e . Porém, é uma assíntota vertical, então apenas é intercepto com .
Portanto, o intercepto com é .

Passo 5

Vamos encontrar as derivadas para identificar os valores críticos e os comportamentos da função.
Primeira derivada de :
Simplificando:

Passo 6

Vamos encontrar os valores críticos onde ou não existe.
A derivada nunca é igual a zero, pois o numerador é sempre negativo ou zero.
Ocorre que não existe quando o denominador é zero, ou seja, em e , que já identificamos como assíntotas verticais.
Portanto, não há valores críticos onde .

Passo 7

Como não temos valores críticos, não há extremos relativos ou absolutos na função.

Passo 8

Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento observando o sinal da primeira derivada .
O numerador é sempre negativo ou zero, e o denominador é sempre positivo (exceto nos pontos e ).
Portanto, para todo no domínio da função.
Isso significa que a função é decrescente em todos os intervalos onde está definida.

Passo 9

Agora, vamos calcular a segunda derivada para encontrar pontos de inflexão e analisar a concavidade.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Vamos aplicar a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 10

Vamos encontrar os pontos de inflexão onde ou não existe.
  • quando o numerador é zero: => . Porém, é uma assíntota vertical, então não é um ponto de inflexão.
  • não existe em e , que já são assíntotas verticais.
Portanto, não há pontos de inflexão na função.

Passo 11

Vamos analisar os intervalos de concavidade observando o sinal da segunda derivada .
  • Para : é negativo e é negativo (porque para ), então . A função é côncava para cima.
  • Para : é positivo e é negativo, então . A função é côncava para baixo.
  • Para : é positivo e é positivo, então . A função é côncava para cima.

Passo 12

Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Assíntotas Verticais: e .
  • Assíntota Horizontal: .
  • Interceptos: e .
  • Crescimento/Decrescimento: A função é decrescente em todo o seu domínio.
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em e .
    • Côncava para baixo em .
Não há pontos de inflexão nem extremos relativos ou absolutos.

Resposta

A função possui assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , interceptos nos pontos e . Ela é decrescente em todo o seu domínio, côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo em . Não há extremos relativos ou absolutos e nem pontos de inflexão. O gráfico apresenta as características mencionadas e respeita as assíntotas estabelecidas.

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