Uma embalagem de suco com formato de prisma reto de base quadrada contém oito litros.
(1 litro equiv 1 dm^3 ).
b) Descreva o domínio e a imagem da função área total da embalagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a embalagem de suco que é um prisma reto com base quadrada e contém 8 litros (ou seja, 8 dm³). A matéria que vamos usar aqui é sobre funções, especificamente a função área total de um prisma. Vamos precisar entender como calcular a área total e depois definir o domínio e a imagem dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área total de um prisma reto com base quadrada é a soma das áreas das duas bases e das quatro faces laterais. A fórmula geral é:
ÁÁ
Como a base é um quadrado, se chamarmos o lado da base de e a altura do prisma de , temos:
Á
As quatro faces laterais são retângulos, cada um com área . Então, a área das laterais é:
Então, a área total fica:

Passo 3

Sabemos que o volume do prisma é dado por:
E o volume é 8 dm³, então:
Podemos expressar em função de :

Passo 4

Substituindo na fórmula da área total:
Agora, temos a função área total em termos de :

Passo 5

Para descrever o domínio dessa função, precisamos identificar os valores de que fazem sentido fisicamente. Como representa o lado da base, ele deve ser maior que zero:
í
Agora, a imagem da função área total são todos os possíveis valores de quando varia dentro do domínio. Como tende a zero, tende ao infinito, e quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Há um valor mínimo de que ocorre no ponto onde a derivada de em relação a é zero, mas para este exercício, basta entender que a imagem é:
í

Resposta

O domínio da função área total é . A imagem da função é todo valor de área total maior que o valor mínimo que pode assumir, ou seja, í.

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