Uma embalagem de suco com formato de prisma reto de base quadrada contém oito litros.
(1 litro
).
b) Descreva o domínio e a imagem da função área total da embalagem.
(1 litro
b) Descreva o domínio e a imagem da função área total da embalagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a embalagem de suco que é um prisma reto com base quadrada e contém 8 litros (ou seja, 8 dm³). A matéria que vamos usar aqui é sobre funções, especificamente a função área total de um prisma. Vamos precisar entender como calcular a área total e depois definir o domínio e a imagem dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área total de um prisma reto com base quadrada é a soma das áreas das duas bases e das quatro faces laterais. A fórmula geral é:
Como a base é um quadrado, se chamarmos o lado da base de
e a altura do prisma de
, temos:
As quatro faces laterais são retângulos, cada um com área
. Então, a área das laterais é:
Então, a área total fica:
Passo 3
Sabemos que o volume do prisma é dado por:
E o volume é 8 dm³, então:
Podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Substituindo
na fórmula da área total:
Agora, temos a função área total em termos de
:
Passo 5
Para descrever o domínio dessa função, precisamos identificar os valores de
que fazem sentido fisicamente. Como
representa o lado da base, ele deve ser maior que zero:
Agora, a imagem da função área total são todos os possíveis valores de
quando
varia dentro do domínio. Como
tende a zero,
tende ao infinito, e quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Há um valor mínimo de
que ocorre no ponto onde a derivada de
em relação a
é zero, mas para este exercício, basta entender que a imagem é:
Resposta
O domínio da função área total
é
. A imagem da função é todo valor de área total maior que o valor mínimo que
pode assumir, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
e)
e)
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto especificado
a) quando
a)
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto especificado
b) quando
b)
Determine o domínio das seguintes funções: