Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty arctan n1+n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela convergir, a gente também tenta calcular o valor da soma. Vamos usar conceitos de cálculo de séries infinitas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série convergente é aquela que, ao adicionar seus termos infinitamente, se aproxima de um número finito. Já uma divergente não se aproxima de nenhum número específico.

Passo 3

Para determinar a convergência da série, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste funciona comparando nossa série com outra série que a gente já sabe se converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem menores que os termos de uma série convergente, então a nossa também converge.

Passo 4

Observando o termo geral da série arctan n1+n^2 < pi21+n^2 = pi2 cdot 11+n^2 , sabemos que é sempre menor que para todo . Então podemos dizer que:

Passo 5

A série é uma série p com , que sabemos ser convergente porque . Então, pela comparação, já que , nossa série também converge.

Passo 6

Agora que estabelecemos que a série converge, vamos tentar encontrar o valor da soma. No entanto, essa série específica não possui uma soma fechada conhecida em termos de funções elementares. Ou seja, não conseguimos expressar a soma total usando apenas funções básicas como exponenciais, logaritmos ou trigonométricas.

Resposta

A série é convergente, mas não é possível calcular a soma exata em termos de funções básicas conhecidas.

Exercícios relacionados