Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se ela convergir, a gente também tenta calcular o valor da soma. Vamos usar conceitos de cálculo de séries infinitas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série convergente é aquela que, ao adicionar seus termos infinitamente, se aproxima de um número finito. Já uma divergente não se aproxima de nenhum número específico.
Passo 3
Para determinar a convergência da série, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste funciona comparando nossa série com outra série que a gente já sabe se converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem menores que os termos de uma série convergente, então a nossa também converge.
Passo 4
Observando o termo geral da série
, sabemos que
é sempre menor que
para todo
. Então podemos dizer que:
Passo 5
A série
é uma série p com
, que sabemos ser convergente porque
. Então, pela comparação, já que
, nossa série também converge.
Passo 6
Agora que estabelecemos que a série converge, vamos tentar encontrar o valor da soma. No entanto, essa série específica não possui uma soma fechada conhecida em termos de funções elementares. Ou seja, não conseguimos expressar a soma total usando apenas funções básicas como exponenciais, logaritmos ou trigonométricas.
Resposta
A série
é convergente, mas não é possível calcular a soma exata em termos de funções básicas conhecidas.
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