Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Isso significa que vamos mudar as coordenadas de
e
para
e
, que muitas vezes facilita a resolução de integrais sobre regiões circulares ou radiais. Para isso, precisamos lembrar que em coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área
se transforma em
. Vamos usar essas relações para transformar e resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. As integrais vão de
a
e, para cada
,
varia de
a 0. Isso descreve a parte esquerda de um círculo com raio 1, centrado em
. Para visualizar melhor, imagine um círculo de raio 1 subindo de
a
, e estamos olhando apenas a metade esquerda desse círculo.
Passo 3
Agora, vamos converter os limites de integração para coordenadas polares. Sabemos que:
Como o c��rculo está centrado em
, podemos ajustar as coordenadas para facilitar a integração. No entanto, para simplificar, podemos considerar que a região está simetricamente distribuída em torno do eixo
, então os limites de
vão de
a
(a metade esquerda do círculo). O raio
vai de 0 a 1, já que o raio do círculo é 1.
Passo 4
Vamos reescrever a função integranda
em coordenadas polares:
E o elemento de área
se transforma em
. Portanto, a integral original fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, a integral em
:
Agora, a integral em
:
Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja
, então
. Quando
,
; quando
,
. Então:
Como estamos lidando com áreas, o valor negativo indica apenas a orientação, então tomamos o valor absoluto.
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada:
Dada a função
, determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
g)
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Encontre a derivada:
Encontre a derivada: