Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
© integral0^2 integral-raiz1-(y-1)^2^0 x y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla x = r cos(theta) e y = r sin(theta) usando coordenadas polares. Isso significa que vamos mudar as coordenadas de e para e , que muitas vezes facilita a resolução de integrais sobre regiões circulares ou radiais. Para isso, precisamos lembrar que em coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área se transforma em . Vamos usar essas relações para transformar e resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As integrais vão de a e, para cada , varia de a 0. Isso descreve a parte esquerda de um círculo com raio 1, centrado em . Para visualizar melhor, imagine um círculo de raio 1 subindo de a , e estamos olhando apenas a metade esquerda desse círculo.

Passo 3

Agora, vamos converter os limites de integração para coordenadas polares. Sabemos que:
x = r cos(theta) e y = r sin(theta)
Como o c��rculo está centrado em , podemos ajustar as coordenadas para facilitar a integração. No entanto, para simplificar, podemos considerar que a região está simetricamente distribuída em torno do eixo , então os limites de vão de a (a metade esquerda do círculo). O raio vai de 0 a 1, já que o raio do círculo é 1.

Passo 4

Vamos reescrever a função integranda x y^2 = (r cos(theta)) (r sin(theta))^2 = r cos(theta) cdot r^2 sin^2(theta) = r^3 cos(theta) sin^2(theta) em coordenadas polares:
integralpi2^3pi2 integral0^1 r^3 cos(theta) sin^2(theta) cdot r , dr , dtheta = integralpi2^3pi2 integral0^1 r^4 cos(theta) sin^2(theta) , dr , dtheta
E o elemento de área se transforma em . Portanto, a integral original fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, a integral em integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15 :
15 integralpi2^3pi2 cos(theta) sin^2(theta) , dtheta
Agora, a integral em 15 integral1^-1 u^2 , du = 15 [ u^33 ]1^-1 = 15 ( (-1)^33 - 1^33 ) = 15 ( -13 - 13 ) = 15 ( -23 ) = -215 :
Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja , então . Quando , ; quando , . Então:
Como estamos lidando com áreas, o valor negativo indica apenas a orientação, então tomamos o valor absoluto.

Resposta

A integral vale .

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