Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Isso significa que vamos mudar as coordenadas de e para e , que muitas vezes facilita a resolução de integrais sobre regiões circulares ou radiais. Para isso, precisamos lembrar que em coordenadas polares:
Além disso, o elemento de área se transforma em . Vamos usar essas relações para transformar e resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As integrais vão de a e, para cada , varia de a 0. Isso descreve a parte esquerda de um círculo com raio 1, centrado em . Para visualizar melhor, imagine um círculo de raio 1 subindo de a , e estamos olhando apenas a metade esquerda desse círculo.

Passo 3

Agora, vamos converter os limites de integração para coordenadas polares. Sabemos que:
Como o c��rculo está centrado em , podemos ajustar as coordenadas para facilitar a integração. No entanto, para simplificar, podemos considerar que a região está simetricamente distribuída em torno do eixo , então os limites de vão de a (a metade esquerda do círculo). O raio vai de 0 a 1, já que o raio do círculo é 1.

Passo 4

Vamos reescrever a função integranda em coordenadas polares:
E o elemento de área se transforma em . Portanto, a integral original fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral de dentro para fora. Primeiro, a integral em :
Agora, a integral em :
Vamos fazer uma substituição para resolver essa integral. Seja , então . Quando , ; quando , . Então:
Como estamos lidando com áreas, o valor negativo indica apenas a orientação, então tomamos o valor absoluto.

Resposta

A integral vale .

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Encontre a derivada:
Dada a função , determine as assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existirem. Encontre os valores críticos de primeira e segunda ordens, os extremos relativos e absolutos (caso existam), os intervalos de crescimento, de decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade e, esboce o gráfico da função indicando os interceptos ox e oy.
g)
Encontre a derivada:
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