Dada a função f(z), determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
© f(z) = (z^7 + z^4 - i) / ((z + 2i)(z^2 + 6z + 5))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar onde a função é analítica e onde ela tem singularidades. Isso está dentro do estudo de Análise Complexa, especificamente sobre funções racionais e seus pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser analítica. Uma função é analítica em um ponto se ela é diferenciável nesse ponto e em um entorno desse ponto. Para funções racionais como essa, que são quocientes de polinômios, a função é analítica em todos os lugares onde o denominador não é zero.

Passo 3

Então, nosso próximo passo é encontrar onde o denominador é igual a zero, porque nesses pontos a função não é definida e, portanto, não é analítica.

Passo 4

Vamos resolver o denominador igual a zero:
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero.

Passo 5

Primeiro, resolvemos :

Passo 6

Agora, resolvemos . Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, temos duas soluções:

Passo 7

Agora que encontramos os valores que anulam o denominador, sabemos que a função não é analítica nesses pontos: , , e .

Resposta

A função é analítica em todo o plano complexo, exceto nos pontos , e . Ou seja:
  • Conjunto onde é analítica:
  • Conjunto onde é singular: ( { -2i, -1, -5 } \ )

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