Dada a função
, determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar onde a função
é analítica e onde ela tem singularidades. Isso está dentro do estudo de Análise Complexa, especificamente sobre funções racionais e seus pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser analítica. Uma função é analítica em um ponto se ela é diferenciável nesse ponto e em um entorno desse ponto. Para funções racionais como essa, que são quocientes de polinômios, a função é analítica em todos os lugares onde o denominador não é zero.
Passo 3
Então, nosso próximo passo é encontrar onde o denominador
é igual a zero, porque nesses pontos a função não é definida e, portanto, não é analítica.
Passo 4
Vamos resolver o denominador igual a zero:
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero.
Passo 5
Primeiro, resolvemos
:
Passo 6
Agora, resolvemos
. Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, temos duas soluções:
Passo 7
Agora que encontramos os valores que anulam o denominador, sabemos que a função não é analítica nesses pontos:
,
, e
.
Resposta
A função
é analítica em todo o plano complexo, exceto nos pontos
,
e
. Ou seja:
- Conjunto onde é analítica:
- Conjunto onde é singular: ( { -2i, -1, -5 } \ )
Exercícios relacionados
Use propriedades de translação e derivadas de transformantes para calcular
ou
como indicado.
(i)
(i)
Calcule a derivada
das seguintes funções:
Calcule a derivada
das seguintes funções:
Dada a função
, determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(b)
(b)