Dada a função f(z), determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(b) f(z) = 2xy + i(x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir onde a função é analítica e onde ela tem singularidades. Isso está dentro da matéria de Análise Complexa, especificamente usando as Equações de Cauchy-Riemann para verificar a analiticidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica em um ponto se ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann nesse ponto. As Equações de Cauchy-Riemann são:
Então, nosso primeiro passo é identificar as funções e na função dada.

Passo 3

Na função , conseguimos identificar:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais dessas funções para aplicar as Equações de Cauchy-Riemann.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos verificar se essas derivadas satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann.

Passo 5

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann:
Vamos ver quando essas igualdades são verdadeiras.

Passo 6

Para a primeira igualdade:
Para a segunda igualdade:
Então, as Equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas quando e .

Passo 7

Isso significa que a função é analítica somente no ponto . Em todos os outros pontos, onde pelo menos um dos valores ou não é zero, a função não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann e, portanto, não é analítica.

Passo 8

Agora, sobre os pontos singulares: são aqueles onde a função não é analítica. Já vimos que só é analítica em , então todo o resto do plano complexo, ou seja, , são conjuntos de singularidades para a função.

Resposta

A função é analítica apenas no ponto e apresenta singularidades em todos os demais pontos do plano complexo, ou seja, para todo onde .

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Dada a função f(z), determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
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Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(a) u(x, y) = y / (x^2 + y^2)
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
© u(x, y) = 2 x (1 - y^2)