Dada a função
, determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir onde a função
é analítica e onde ela tem singularidades. Isso está dentro da matéria de Análise Complexa, especificamente usando as Equações de Cauchy-Riemann para verificar a analiticidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é analítica em um ponto se ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann nesse ponto. As Equações de Cauchy-Riemann são:
Então, nosso primeiro passo é identificar as funções
e
na função dada.
Passo 3
Na função
, conseguimos identificar:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais dessas funções para aplicar as Equações de Cauchy-Riemann.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos verificar se essas derivadas satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann.
Passo 5
Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann:
Vamos ver quando essas igualdades são verdadeiras.
Passo 6
Para a primeira igualdade:
Para a segunda igualdade:
Então, as Equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas quando
e
.
Passo 7
Isso significa que a função
é analítica somente no ponto
. Em todos os outros pontos, onde pelo menos um dos valores
ou
não é zero, a função não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann e, portanto, não é analítica.
Passo 8
Agora, sobre os pontos singulares: são aqueles onde a função não é analítica. Já vimos que
só é analítica em
, então todo o resto do plano complexo, ou seja,
, são conjuntos de singularidades para a função.
Resposta
A função
é analítica apenas no ponto
e apresenta singularidades em todos os demais pontos do plano complexo, ou seja, para todo
onde
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada
das seguintes funções:
Dada a função
, determine o conjunto onde a função é análítica e o conjunto onde a função é singular.
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Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(a)
(a)
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
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