Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre testes de convergência de séries, e vamos precisar entender um pouco sobre como comparar termos da série com outras séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Temos . Sabemos que o seno de qualquer ângulo está sempre limitado entre -1 e 1, ou seja, para qualquer valor de .

Passo 3

Com essa informação, podemos pegar o valor absoluto dos termos da série para facilitar a análise:
Isso nos mostra que cada termo absoluto da nossa série é menor ou igual a .

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma série que já conhecemos bem: a série . Essa é uma série p com , e sabemos que ela converge porque .

Passo 5

Como nossa série original tem termos absolutos menores ou iguais aos termos de uma série que converge ( ), podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se converge e para todo , então também converge absolutamente.

Passo 6

Aplicando o Teste da Comparação:
Como a série da direita converge, nossa série também converge absolutamente.

Resposta

A série converge pela aplicação do Teste da Comparação, já que seus termos absolutos são menores ou iguais aos de uma série p com , que é convergente.

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Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(e)
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(b)
Dada a função , determine sua derivada primeira:
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