Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre testes de convergência de séries, e vamos precisar entender um pouco sobre como comparar termos da série com outras séries conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Temos . Sabemos que o seno de qualquer ângulo está sempre limitado entre -1 e 1, ou seja, para qualquer valor de
.
Passo 3
Com essa informação, podemos pegar o valor absoluto dos termos da série para facilitar a análise:
Isso nos mostra que cada termo absoluto da nossa série é menor ou igual a
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar de uma série que já conhecemos bem: a série
. Essa é uma série p com
, e sabemos que ela converge porque
.
Passo 5
Como nossa série original tem termos absolutos menores ou iguais aos termos de uma série que converge (
), podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se
converge e
para todo
, então
também converge absolutamente.
Passo 6
Aplicando o Teste da Comparação:
Como a série da direita converge, nossa série também converge absolutamente.
Resposta
A série converge pela aplicação do Teste da Comparação, já que seus termos absolutos são menores ou iguais aos de uma série p com
, que é convergente.
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Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(e)
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(b)
(b)
Dada a função
, determine sua derivada primeira:
Dada a função
, determine sua derivada primeira: