Determine e para que a terna seja função, sendo a regra dada implicitamente pela equação

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos determinar os valores de e para que a terna seja uma função. Isso significa que queremos encontrar um intervalo onde, para cada nesse intervalo, existe um único que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação . Para fazer isso, dividimos ambos os lados por (desde que ):

Passo 3

Agora, tiramos a raiz quadrada dos dois lados para resolver para :
Aqui, usamos a função raiz quadrada, que nos dá apenas o valor não negativo de . Isso já nos ajuda a definir que está relacionado de forma única a dentro do intervalo que vamos determinar.

Passo 4

Para que seja um número real, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que tornam a expressão válida.

Passo 5

Analisando a desigualdade , temos dois casos:
  1. e
  2. e
No entanto, se , o denominador seria negativo, mas o numerador também é negativo, o que resultaria em uma fração positiva. Mas olhando para a função original , se , o termo dentro da raiz pode não se comportar bem para representar uma função real.

Passo 6

Além disso, no ponto , a equação original não é válida porque teríamos , o que é impossível. Portanto, excluímos do domínio.

Passo 7

Então, considerando tudo isso, o intervalo mais apropriado onde a função está bem definida e real é . Aqui, para cada , existe um único real que satisfaz a equação.

Resposta

Os valores são e . Assim, a terna é uma função válida.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de :
Dada a função definida por
Determine , se possível, de modo que a função seja contínua em qualquer ponto. Justifique.
Usando a definição formal, encontre as derivadas das funções a seguir.
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas: