Determine
e
para que a terna
seja função, sendo a regra
dada implicitamente pela equação
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos determinar os valores de
e
para que a terna
seja uma função. Isso significa que queremos encontrar um intervalo
onde, para cada
nesse intervalo, existe um único
que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação
. Para fazer isso, dividimos ambos os lados por
(desde que
):
Passo 3
Agora, tiramos a raiz quadrada dos dois lados para resolver para
:
Aqui, usamos a função raiz quadrada, que nos dá apenas o valor não negativo de
. Isso já nos ajuda a definir que
está relacionado de forma única a
dentro do intervalo que vamos determinar.
Passo 4
Para que
seja um número real, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
que tornam a expressão válida.
Passo 5
Analisando a desigualdade
, temos dois casos:
-
e → -
e →
No entanto, se
, o denominador
seria negativo, mas o numerador
também é negativo, o que resultaria em uma fração positiva. Mas olhando para a função original
, se
, o termo dentro da raiz pode não se comportar bem para representar uma função real.
Passo 6
Além disso, no ponto
, a equação original
não é válida porque teríamos
, o que é impossível. Portanto, excluímos
do domínio.
Passo 7
Então, considerando tudo isso, o intervalo mais apropriado onde a função está bem definida e real é
. Aqui, para cada
, existe um único
real que satisfaz a equação.
Resposta
Os valores são
e
. Assim, a terna
é uma função válida.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de :
Dada a função
definida por
Determine
, se possível, de modo que a função
seja contínua em qualquer ponto. Justifique.
Usando a definição formal, encontre as derivadas das funções a seguir.
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas: