a) Resolva as equações modulares em R :
i) |x|^2 - 5|x| + 6 = 0 ii) | ( ( x - 1 ) / ( x - 2 ) ) | = - ( x - 1 ) / ( x - 2 )
b) Considere a função f(x) = |x - 1| + |x - 2|.
i) Mostre que f(x) = { -2x + 3, p/x <= 1; 1, 1 < p/x < 2; 2x - 3, p/x >= 2 } ii) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações modulares e função valor absoluto. Primeiro, a parte a) trata de resolver equações com valores absolutos, que está no conteúdo de matemática envolvendo módulos e álgebra. A parte b) envolve analisar uma função com valores absolutos e expressá-la de forma peça a peça (função peça a peça) além de desenhar o gráfico dela. Para resolver tudo isso, vamos precisar das propriedades dos valores absolutos e de como dividir as funções em pedaços com base nos pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal.

Passo 2

Parte a) i): Temos a equação . Para simplificar, vamos substituir por uma variável, digamos . Assim, a equação fica . Agora, vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 3

Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Então, ou . Lembrando que , isso significa que ou . Portanto, as soluções são e .

Passo 4

Parte a) ii): A equação é . Sabemos que o valor absoluto sempre é não negativo. Então, para essa igualdade ser verdadeira, o lado direito deve ser também não negativo. Porém, está com um sinal negativo, então só vai dar certo se for negativo.

Passo 5

Portanto, precisamos resolver a inequação . Para isso, encontramos os pontos onde a expressão muda de sinal: e (não pode ser pois a expressão fica indefinida). Analisando os intervalos:
  • Para : é negativo e é negativo, então é positivo.
  • Para : é positivo e é negativo, então é negativo.
  • Para : e são positivos, então é positivo.
Portanto, a solução é .

Passo 6

Parte b) i): Temos a função . Para expressá-la de forma peça a peça, vamos considerar os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal, que são e . Vamos dividir em três casos:
  1. Para :
    • Assim,
  2. Para :
    • Assim,
  3. Para :
    • Assim,
Então, a função fica:

Passo 7

Parte b) ii): Para esboçar o gráfico de , vamos plotar cada uma das três partes que encontramos:
  1. Para : A função é uma reta com inclinação negativa, começando de e descendo conforme diminui.
  2. Para : A função é constante, igual a 1.
  3. Para : A função é uma reta com inclinação positiva, começando de e crescendo conforme aumenta.

Resposta

a) i) As soluções são e .
a) ii) A solução é .
b) i) A função é:

Exercícios relacionados