a) Resolva as equações modulares em :
i) ii)
b) Considere a função .
i) Mostre que ii) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações modulares e função valor absoluto. Primeiro, a parte a) trata de resolver equações com valores absolutos, que está no conteúdo de matemática envolvendo módulos e álgebra. A parte b) envolve analisar uma função com valores absolutos e expressá-la de forma peça a peça (função peça a peça) além de desenhar o gráfico dela. Para resolver tudo isso, vamos precisar das propriedades dos valores absolutos e de como dividir as funções em pedaços com base nos pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal.

Passo 2

Parte a) i): Temos a equação . Para simplificar, vamos substituir por uma variável, digamos . Assim, a equação fica . Agora, vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 3

Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Então, ou . Lembrando que , isso significa que ou . Portanto, as soluções são e .

Passo 4

Parte a) ii): A equação é . Sabemos que o valor absoluto sempre é não negativo. Então, para essa igualdade ser verdadeira, o lado direito deve ser também não negativo. Porém, está com um sinal negativo, então só vai dar certo se for negativo.

Passo 5

Portanto, precisamos resolver a inequação . Para isso, encontramos os pontos onde a expressão muda de sinal: e (não pode ser pois a expressão fica indefinida). Analisando os intervalos:
  • Para : é negativo e é negativo, então é positivo.
  • Para : é positivo e é negativo, então é negativo.
  • Para : e são positivos, então é positivo.
Portanto, a solução é .

Passo 6

Parte b) i): Temos a função . Para expressá-la de forma peça a peça, vamos considerar os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal, que são e . Vamos dividir em três casos:
  1. Para :
    • Assim,
  2. Para :
    • Assim,
  3. Para :
    • Assim,
Então, a função fica:

Passo 7

Parte b) ii): Para esboçar o gráfico de , vamos plotar cada uma das três partes que encontramos:
  1. Para : A função é uma reta com inclinação negativa, começando de e descendo conforme diminui.
  2. Para : A função é constante, igual a 1.
  3. Para : A função é uma reta com inclinação positiva, começando de e crescendo conforme aumenta.

Resposta

a) i) As soluções são e .
a) ii) A solução é .
b) i) A função é:

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i) verifique as leis de De Morgan com diagramas de Euler-Venn;
Leis de
ii) prove-as também algebricamente.
De Morgan:
É dada a função definida por .
a) Determine os valores de para os quais .
b) Determine os valores de x para os quais .
(Vunesp) Um operário ganha R por hora de trabalho de sua jornada semanal regular, que é de 40 horas. Eventuais horas extras são pagas com um acréscimo de 50%. Encontre uma fórmula algébrica para expressar seu salário bruto semanal, S, para as semanas em que trabalhar horas, com .