a) Resolva as equações modulares em :
i) ii)
b) Considere a função .
i) Mostre que ii) Esboce o gráfico de f.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações modulares e função valor absoluto. Primeiro, a parte a) trata de resolver equações com valores absolutos, que está no conteúdo de matemática envolvendo módulos e álgebra. A parte b) envolve analisar uma função com valores absolutos e expressá-la de forma peça a peça (função peça a peça) além de desenhar o gráfico dela. Para resolver tudo isso, vamos precisar das propriedades dos valores absolutos e de como dividir as funções em pedaços com base nos pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal.
Passo 2
Parte a) i): Temos a equação . Para simplificar, vamos substituir por uma variável, digamos . Assim, a equação fica . Agora, vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 3
Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Então, ou . Lembrando que , isso significa que ou . Portanto, as soluções são e .
Passo 4
Parte a) ii): A equação é . Sabemos que o valor absoluto sempre é não negativo. Então, para essa igualdade ser verdadeira, o lado direito deve ser também não negativo. Porém, está com um sinal negativo, então só vai dar certo se for negativo.
Passo 5
Portanto, precisamos resolver a inequação . Para isso, encontramos os pontos onde a expressão muda de sinal: e (não pode ser pois a expressão fica indefinida). Analisando os intervalos:
Para : é negativo e é negativo, então é positivo.
Para : é positivo e é negativo, então é negativo.
Para : e são positivos, então é positivo.
Portanto, a solução é .
Passo 6
Parte b) i): Temos a função . Para expressá-la de forma peça a peça, vamos considerar os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal, que são e . Vamos dividir em três casos:
Para :
Assim,
Para :
Assim,
Para :
Assim,
Então, a função fica:
Passo 7
Parte b) ii): Para esboçar o gráfico de , vamos plotar cada uma das três partes que encontramos:
Para : A função é uma reta com inclinação negativa, começando de e descendo conforme diminui.
Para : A função é constante, igual a 1.
Para : A função é uma reta com inclinação positiva, começando de e crescendo conforme aumenta.