Dada a função f(t)=ll14 pi t & 0,
Desenvolva f(x) em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(t) de período 2 pi. Rsp: fI(x)=sumn=1^infty (-)^n+1(2 n-1)^2 sin [(2 n-1) x]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de forma diferente em dois intervalos e precisa desenvolver essa função em uma série de Fourier usando apenas senos. Isso faz parte do estudo de séries de Fourier na matemática, que nos ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Pra resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de senos e aplicar a teoria das séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier de senos para uma função impar e periódica de período f(x) = sumn=1^infty bn sin(nx) tem a forma:
bn = 2pi integral0^pi f(t) sin(nt) , dt
Onde os coeficientes são dados por:

Passo 3

Agora, vamos calcular esses coeficientes bn = 2pi ( integral0^pi2 pi t4 sin(nt) , dt + integralpi2^pi pi - t4 sin(nt) , dt ) para a nossa função . Como é definida de forma diferente em dois intervalos, vamos dividir a integral em duas partes:

Passo 4

Vamos simplificar as constantes fora das integrais:
bn = pi2pi ( integral0^pi2 t sin(nt) , dt + integralpi2^pi (pi - t) sin(nt) , dt ) = 12 ( integral0^pi2 t sin(nt) , dt + integralpi2^pi (pi - t) sin(nt) , dt )

Passo 5

Agora, vamos resolver as integrais. Para a primeira integral integral t sin(nt) , dt = -t cos(nt)n + sin(nt)n^2 , usamos a integração por partes onde [-t cos(nt)n + sin(nt)n^2]0^pi2 = -pi2 cos(npi2)n + sin(npi2)n^2 + 0 e . Fazendo isso, encontramos que:
Aplicando os limites de a , temos:

Passo 6

Para a segunda integral integral0^pi2 u sin(n(pi - u)) , du = integral0^pi2 u sin(npi - nu) , du , fazemos a substituição (-1)^n integral0^pi2 u sin(nu) , du , então (-1)^n ( -u cos(nu)n + sin(nu)n^2 ) g|0^pi2 = (-1)^n ( -pi2 cos(npi2)n + sin(npi2)n^2 ) e os limites mudam de para para para . A integral fica:
Sabendo que , a integral se torna:
Que, por integração por partes, resulta em:

Passo 7

Somando as duas integrais, temos:
bn = 12 ( -pi2 cos(npi2)n + sin(npi2)n^2 + (-1)^n ( -pi2 cos(npi2)n + sin(npi2)n^2 ) )

Passo 8

Observando os termos, e considerando que e têm valores específicos para diferentes , especialmente quando é ímpar, percebemos que apenas os termos com ímpar contribuem para a série. Portanto, podemos reescrever a soma apenas para os ímpares.

Passo 9

Finalmente, substituindo fI(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1(2n-1)^2 sin[(2n-1)x] onde é um inteiro positivo, a série de Fourier de senos para fica:

Resposta

Portanto, a série de Fourier de senos para a função fI(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1(2n-1)^2 sin[(2n-1)x] é:

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