Dada a função ,
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de de período . Rsp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de forma diferente em dois intervalos e precisa desenvolver essa função em uma série de Fourier usando apenas senos. Isso faz parte do estudo de séries de Fourier na matemática, que nos ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Pra resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de senos e aplicar a teoria das séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier de senos para uma função impar e periódica de período tem a forma:
Onde os coeficientes são dados por:
Passo 3
Agora, vamos calcular esses coeficientes para a nossa função . Como é definida de forma diferente em dois intervalos, vamos dividir a integral em duas partes:
Passo 4
Vamos simplificar as constantes fora das integrais:
Passo 5
Agora, vamos resolver as integrais. Para a primeira integral , usamos a integração por partes onde e . Fazendo isso, encontramos que:
Aplicando os limites de a , temos:
Passo 6
Para a segunda integral , fazemos a substituição , então e os limites mudam de para para para . A integral fica:
Observando os termos, e considerando que e têm valores específicos para diferentes , especialmente quando é ímpar, percebemos que apenas os termos com ímpar contribuem para a série. Portanto, podemos reescrever a soma apenas para os ímpares.
Passo 9
Finalmente, substituindo fI(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1(2n-1)^2 sin[(2n-1)x] onde é um inteiro positivo, a série de Fourier de senos para fica:
Resposta
Portanto, a série de Fourier de senos para a função fI(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1(2n-1)^2 sin[(2n-1)x] é: