Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função
definida no intervalo
com período
. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função
com período
pode ser escrita da seguinte forma:
Onde
neste caso. Os coeficientes
,
e
são calculados pelas seguintes fórmulas:
Vamos calcular cada um desses coeficientes passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
:
Vamos resolver essa integral:
Calculando de
a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Para a primeira parte, usando integração por partes:
Avaliado de
a
, notamos que os termos com seno serão zero devido à periodicidade, ficando apenas:
Para a segunda parte:
Usando novamente integração por partes duas vezes, acabamos com:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Novamente, dividimos a integral:
A primeira integral,
, é uma função ímpar multiplicada por uma função ímpar, resultando em uma função par. Porém, sobre o intervalo simétrico
, isso não anula a integral. Mas ao resolver, percebemos que:
Por simetria, e também para a segunda parte:
Portanto,
Resposta
A série de Fourier da função
definida em
com período
é dada por:
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Encontre a série de Fourier da função dada.
Determine as derivodos parciais indicodos:
e
.
Encontre a série de Fourier de
.
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período
. Rsp:
Desenvolva