Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
h(x) = x + x^2, -1 <= x <= 1, T = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função definida no intervalo com período . Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função com período pode ser escrita da seguinte forma:
Onde neste caso. Os coeficientes , e são calculados pelas seguintes fórmulas:
Vamos calcular cada um desses coeficientes passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular :
Vamos resolver essa integral:
Calculando de a :

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Para a primeira parte, usando integração por partes:
Avaliado de a , notamos que os termos com seno serão zero devido à periodicidade, ficando apenas:
Para a segunda parte:
Usando novamente integração por partes duas vezes, acabamos com:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Novamente, dividimos a integral:
A primeira integral, , é uma função ímpar multiplicada por uma função ímpar, resultando em uma função par. Porém, sobre o intervalo simétrico , isso não anula a integral. Mas ao resolver, percebemos que:
Por simetria, e também para a segunda parte:
Portanto,

Resposta

A série de Fourier da função definida em com período é dada por:

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Desenvolva f(x) em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(t) de período 2 pi. Rsp: fI(x)=sumn=1^infty (-)^n+1(2 n-1)^2 sin [(2 n-1) x]