Encontre a série de Fourier de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a série de Fourier da função
. A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como aplicá-las a funções que envolvem valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica
com período
pode ser escrita como:
Onde:
-
é o termo constante. -
e são os coeficientes de Fourier para os cossenos e senos, respectivamente.
No nosso caso,
, que é uma função par, ou seja, ela é simétrica em relação ao eixo y. Por isso, todos os coeficientes
serão zero, e a série ficará apenas com os termos de cosseno.
Passo 3
Vamos determinar o período da função
. A função
tem período
, mas como estamos tomando o valor absoluto, o período da função
é metade disso, ou seja,
.
Então, o período
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no período. A fórmula para
é:
Substituindo
e
:
Vamos fazer a substituição
, então
e
:
Como
é positivo no intervalo de
a
, podemos remover o valor absoluto:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
e
:
Fazendo novamente a substituição
,
:
Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando as integrais:
Aplicando isso:
Simplificando e usando que
:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por:
Exercícios relacionados
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Encontre a série de Fourier da função dada.
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período
. Rsp:
Desenvolva
Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa: