Encontre a série de Fourier de f(x) = |sen(w x)|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a série de Fourier da função . A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como aplicá-las a funções que envolvem valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica com período pode ser escrita como:
Onde:
  • é o termo constante.
  • e são os coeficientes de Fourier para os cossenos e senos, respectivamente.
No nosso caso, , que é uma função par, ou seja, ela é simétrica em relação ao eixo y. Por isso, todos os coeficientes serão zero, e a série ficará apenas com os termos de cosseno.

Passo 3

Vamos determinar o período da função . A função tem período , mas como estamos tomando o valor absoluto, o período da função é metade disso, ou seja, .
Então, o período é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período. A fórmula para é:
Substituindo e :
Vamos fazer a substituição , então e :
Como é positivo no intervalo de a , podemos remover o valor absoluto:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo e :
Fazendo novamente a substituição , :
Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando as integrais:
Aplicando isso:
Simplificando e usando que :
Simplificando ainda mais:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

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Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
h(x) = x + x^2, -1 <= x <= 1, T = 2
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f(x) = { x + 1, -1/2 <= x <= 0 ; 1 - x, 0 <= x <= 1/2 ; f(x + 1) = f(x) }
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Desenvolva f(x) em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(t) de período 2 pi. Rsp: fI(x)=sumn=1^infty (-)^n+1(2 n-1)^2 sin [(2 n-1) x]
Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa: f(x, y) = y^3 - 3 x y