Dada a função
,
Desenvolva
em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período
.
Desenvolva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes no intervalo
. Nosso objetivo é desenvolver essa função em uma série de Fourier usando somente funções seno e, depois, desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período
. Vamos precisar entender o que é uma série de Fourier de senos e como calcular os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier de senos é uma maneira de representar uma função periódica como uma soma infinita de funções seno com diferentes frequências e amplitudes. Isso é útil para analisar funções que não são necessariamente suaves ou contínuas.
Passo 3
Como nossa função
é definida no intervalo
, para desenvolver a série de Fourier de senos, assumimos que a função é ímpar em relação ao eixo
. Isso significa que, ao estender a função para todo o eixo real, ela será periódica com período
e repetirá seu comportamento a cada intervalo de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier de senos. A fórmula geral para o coeficiente
em uma série de senos é:
Onde
é um número inteiro positivo.
Passo 5
Vamos calcular
substituindo
na integral:
O primeiro termo desaparece porque
nessa parte do intervalo.
Passo 6
Agora, calculamos a integral restante:
Integrando, temos:
Passo 7
Simplificando:
Sabemos que
e
varia dependendo de
. Porém, para a série de senos, os coeficientes se simplificam de forma que só os termos ímpares permanecem.
Passo 8
Portanto, os coeficientes
são:
Passo 9
Agora, podemos escrever a série de Fourier de senos para
:
Onde
é um número inteiro positivo.
Resposta
A série de Fourier de senos para a função
é dada por:
Essa série representa a extensão periódica de
com período
.
Exercícios relacionados
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Determine o intervalo de convergência da série de potências
.
Obtenha a representação em série de potências em torno de
das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série.
.