Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir se a série
converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas na matemática. Para resolver, vamos precisar usar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual teste usar. Aqui, o Teste da Integral é uma boa opção. Esse teste ajuda a determinar se uma série convergente ou não, comparando-a com uma integral correspondente.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Integral. Para isso, consideramos a função contínua, positiva e decrescente
.
Agora, integramos essa função de
até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
. Reescrevendo a integral:
Essa substituição simplifica a integral, mas percebemos que
ainda está no denominador. Para facilitar, podemos reescrever a integral original de forma que fique mais simples de resolver:
Observando que
pode ser tratada como
, a integral se torna:
Essa integral não possui uma antiderivada elementar fácil, mas podemos analisar seu comportamento quando
tende ao infinito.
Passo 5
Analisando o comportamento da função
quando
vai para infinito, vemos que ela tende a zero, e a integral converge. Ou seja,
Resposta
Portanto, pela aplicação do Teste da Integral, a série
converge.
Exercícios relacionados
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período
.
Desenvolva
Determine o intervalo de convergência da série de potências
.