Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. sumn=3^infty 1n^2 ln (n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir se a série converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries infinitas na matemática. Para resolver, vamos precisar usar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual teste usar. Aqui, o Teste da Integral é uma boa opção. Esse teste ajuda a determinar se uma série convergente ou não, comparando-a com uma integral correspondente.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral. Para isso, consideramos a função contínua, positiva e decrescente integral3^infty 1x^2 ln x , dx .
Agora, integramos essa função de até o infinito:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar integral 1x^2 ln x , dx = integral 1x cdot u cdot dux = integral 1u cdot dux^2 , então integral 1x^2 ln x , dx = integral dxx^2 ln x . Reescrevendo a integral:
integral 1x^2 ln x , dx
Essa substituição simplifica a integral, mas percebemos que ainda está no denominador. Para facilitar, podemos reescrever a integral original de forma que fique mais simples de resolver:
Observando que pode ser tratada como , a integral se torna:
Essa integral não possui uma antiderivada elementar fácil, mas podemos analisar seu comportamento quando tende ao infinito.

Passo 5

Analisando o comportamento da função integral3^infty 1x^2 ln x , dx < infty quando vai para infinito, vemos que ela tende a zero, e a integral converge. Ou seja,

Resposta

Portanto, pela aplicação do Teste da Integral, a série converge.

Exercícios relacionados

Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
g(x) = x^2, -1 <= x <= 1, T = 2
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. sumn=0^infty(n2 n+1)^n.
Dada a função f(x) = { 0, 0 < x < 1/2 pi; 1, 1/2 pi < x < pi },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 2 pi.
Determine o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty 2^n(x+1)^nn!.