Determine o intervalo de convergência da série de potências .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso envolve entender sobre séries de potências e métodos para verificar onde elas convergem. Vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar esse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências é uma soma infinita que envolve termos com potências de , onde é o centro da série. No nosso caso, temos , o que significa que o centro é . A gente quer saber para quais valores de essa série converge, ou seja, soma para um valor finito.
Passo 3
Para descobrir o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série , se o limite , então:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos an = 2^n(x+1)^nn!.
Agora, vamos encontrar o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
limn to infty | 2(x+1)n+1 | = limn to infty 2|x+1|n+1 = 0
Passo 6
Como o limite é 0 e 0 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para todo valor de x. Isso significa que não há restrição para x, ou seja, a série converge para qualquer número real.
Resposta
O intervalo de convergência da série é (-infty, +infty).