Determine o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty 2^n(x+1)^nn!.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty 2^n(x+1)^nn!. Isso envolve entender sobre séries de potências e métodos para verificar onde elas convergem. Vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar esse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências é uma soma infinita que envolve termos com potências de (x - a), onde a é o centro da série. No nosso caso, temos (x + 1)^n, o que significa que o centro é a = -1. A gente quer saber para quais valores de x essa série converge, ou seja, soma para um valor finito.

Passo 3

Para descobrir o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série sum an, se o limite limn to infty | an+1an | = L, então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos an = 2^n(x+1)^nn!.
Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = 2^n+1(x+1)^n+1(n+1)!
Agora, calculemos a razão an+1an:
an+1an = 2^n+1(x+1)^n+1(n+1)! cdot n!2^n(x+1)^n = 2(x+1)n+1

Passo 5

Agora, vamos encontrar o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
limn to infty | 2(x+1)n+1 | = limn to infty 2|x+1|n+1 = 0

Passo 6

Como o limite é 0 e 0 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para todo valor de x. Isso significa que não há restrição para x, ou seja, a série converge para qualquer número real.

Resposta

O intervalo de convergência da série é (-infty, +infty).

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