Obtenha a representação em série de potências em torno de x = 0 das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série. f(x) = ln(2 - x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de potências da função em torno de e também descobrir o raio de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos de séries de Taylor e propriedades de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão em série. Podemos fatorar o 2 dentro do logaritmo:
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . Sabemos que a série de Taylor para em torno de é:
Aqui, vamos substituir por :

Passo 4

Agora, juntando tudo, a série de potências para fica:
Isso significa que:

Passo 5

Para determinar o raio de convergência dessa série, precisamos analisar para quais valores de a série converge.
Sabemos que a série converge quando . Aqui, , então a condição de convergência é:
Portanto, o raio de convergência é 2.

Resposta

A série de potências de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é 2.

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