Obtenha a representação em série de potências em torno de das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de potências da função em torno de e também descobrir o raio de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos de séries de Taylor e propriedades de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão em série. Podemos fatorar o 2 dentro do logaritmo:
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte . Sabemos que a série de Taylor para em torno de é:
Aqui, vamos substituir por :
Passo 4
Agora, juntando tudo, a série de potências para fica:
Isso significa que:
Passo 5
Para determinar o raio de convergência dessa série, precisamos analisar para quais valores de a série converge.
Sabemos que a série converge quando . Aqui, , então a condição de convergência é: