Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
g(x) = x^2, -1 <= x <= 1, T = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir a série de Fourier da função , definida no intervalo de a , com período . Basicamente, vamos decompor essa função em uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas das séries de Fourier para funções periódicas e entender um pouquinho sobre funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se nossa função é par ou ímpar. Uma função é par se . No nosso caso, , então é uma função par. Isso significa que na série de Fourier só teremos termos de cosseno, porque os senos são de funções ímpares e vão dar zero na integração.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da série de Fourier para funções pares:
Aqui, é meio período, no nosso caso já que . Precisamos calcular os coeficientes e .

Passo 4

Vamos calcular , que é dado por:
Substituindo e :
Como a função é par, podemos simplificar:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo , e :
Como a função é par, podemos simplificar:

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos uma técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções. Vamos definir:
Aplicando integração por partes:
Precisamos resolver a segunda integral, que também será feita por partes.

Passo 7

Para a segunda integral:
Usamos integração por partes novamente:
Aplicando:
Voltando para a integral anterior:
Simplificando:

Passo 8

Agora, avaliamos de 0 a 1:
Sabemos que para todo inteiro , então:
E como :

Resposta

A série de Fourier da função , definida em com período , é dada por:

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