Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir a série de Fourier da função
, definida no intervalo de
a
, com período
. Basicamente, vamos decompor essa função em uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas das séries de Fourier para funções periódicas e entender um pouquinho sobre funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se nossa função é par ou ímpar. Uma função é par se
. No nosso caso,
, então
é uma função par. Isso significa que na série de Fourier só teremos termos de cosseno, porque os senos são de funções ímpares e vão dar zero na integração.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula da série de Fourier para funções pares:
Aqui,
é meio período, no nosso caso
já que
. Precisamos calcular os coeficientes
e
.
Passo 4
Vamos calcular
, que é dado por:
Substituindo
e
:
Como a função é par, podemos simplificar:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
,
e
:
Como a função
é par, podemos simplificar:
Passo 6
Para resolver essa integral, usamos uma técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções. Vamos definir:
Aplicando integração por partes:
Precisamos resolver a segunda integral, que também será feita por partes.
Passo 7
Para a segunda integral:
Usamos integração por partes novamente:
Aplicando:
Voltando para a integral anterior:
Simplificando:
Passo 8
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Sabemos que
para todo inteiro
, então:
E como
:
Resposta
A série de Fourier da função
, definida em
com período
, é dada por:
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Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Estude a convergência da integral
.
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período
.
Desenvolva