Dada a função
a) Determine os pontos de descontinuidade da função f, caso haja

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos descobrir se ela tem pontos de descontinuidade. Isso tá ligado ao estudo de limites e continuidade de funções, que a gente vê na matemática básica. Pra resolver, vamos precisar analisar onde o denominador da fração pode ser zero, porque isso geralmente indica possíveis descontinuidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é descontinuidade. Uma função apresenta descontinuidade num ponto se ela não é contínua ali, ou seja, se tem um “salto”, um “buraco” ou algum outro tipo de interrupção no gráfico.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nossa função . A descontinuidade pode ocorrer onde o denominador é zero, porque aí a função não está definida.

Passo 4

Vamos encontrar os valores de que fazem . Sabemos que o seno de é zero quando , onde é qualquer número inteiro (positivo, negativo ou zero). Então:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se nesses pontos , o numerador também é zero. Vamos testar:
Para :
O único caso em que isso é zero é quando , ou seja, quando . Então, nesse ponto específico , tanto o numerador quanto o denominador são zero, o que indica uma forma indeterminada . Nesses casos, precisamos investigar mais a fundo para determinar a continuidade.

Passo 6

Para , podemos usar o limite para verificar a continuidade:
Aplicando a regra de L’Hospital, já que temos :
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então:
Isso significa que, mesmo tendo a forma em , o limite existe e é igual a 1. Portanto, podemos definir para tornar a função contínua nesse ponto.

Resposta

A função não possui pontos de descontinuidade.

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Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
  • Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
    h) ;
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