Dada a função
a) Determine os pontos de descontinuidade da função f, caso haja
a) Determine os pontos de descontinuidade da função f, caso haja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos descobrir se ela tem pontos de descontinuidade. Isso tá ligado ao estudo de limites e continuidade de funções, que a gente vê na matemática básica. Pra resolver, vamos precisar analisar onde o denominador da fração pode ser zero, porque isso geralmente indica possíveis descontinuidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é descontinuidade. Uma função apresenta descontinuidade num ponto se ela não é contínua ali, ou seja, se tem um “salto”, um “buraco” ou algum outro tipo de interrupção no gráfico.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa função . A descontinuidade pode ocorrer onde o denominador é zero, porque aí a função não está definida.
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
que fazem . Sabemos que o seno de
é zero quando
, onde
é qualquer número inteiro (positivo, negativo ou zero). Então:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se nesses pontos
, o numerador
também é zero. Vamos testar:
Para
:
O único caso em que isso é zero é quando
, ou seja, quando
. Então, nesse ponto específico
, tanto o numerador quanto o denominador são zero, o que indica uma forma indeterminada
. Nesses casos, precisamos investigar mais a fundo para determinar a continuidade.
Passo 6
Para
, podemos usar o limite para verificar a continuidade:
Aplicando a regra de L’Hospital, já que temos
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então:
Isso significa que, mesmo tendo a forma
em
, o limite existe e é igual a 1. Portanto, podemos definir
para tornar a função contínua nesse ponto.
Resposta
A função não possui pontos de descontinuidade.
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Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
- Calcule os limites abaixo, justificando o caso onde não existe.
h);
Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
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