Dada a função . Determine: Faça o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o gráfico da função . Isso envolve entender alguns conceitos básicos de funções racionais, como encontrar os interceptos, assíntotas e pontos especiais que ajudam a desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a função pode assumir sem problemas, ou seja, sem dividir por zero. Como estamos com no denominador, precisamos garantir que .
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos. Começando com o intercepto , que ocorre quando :
Então, o intercepto é .
Para o intercepto , que ocorre quando :
Então, o intercepto é .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, que já vimos ser .
Para as assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Como os graus do numerador e denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
Então, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Vamos calcular alguns pontos adicionais para ter mais referências no gráfico. Por exemplo, calculando e :
Para :
Para :
Assim, temos os pontos e .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • O domínio é .
  • Intercepto em e intercepto em .
  • Assíntota vertical em e assíntota horizontal em .
  • Pontos adicionais em e .
Desenhamos a assíntota vertical como uma linha pontilhada em e a assíntota horizontal como uma linha pontilhada em . Plotamos os pontos encontrados e desenhamos a curva que se aproxima dessas assíntotas sem nunca tocá-las.

Resposta

O gráfico da função apresenta uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em , interceptos em e , e passa pelos pontos adicionais e . A curva se aproxima das assíntotas sem tocá-las, formando duas ramas separadas.

Exercícios relacionados

Sobre a função dada abaixo, foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira.
Assinale-a:
a) Seu gráfico tem a reta como uma assíntota vertical.
b) Seu gráfico tem a reta como uma assíntota vertical.
c) Seu gráfico passa pelo ponto
d)
e)
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.
Dada a função . Determine: A assíntota vertical no ponto de descontinuidade.
Dada a função . Determine: faça o gráfico.