Dada a função
. Determine: Faça o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o gráfico da função
. Isso envolve entender alguns conceitos básicos de funções racionais, como encontrar os interceptos, assíntotas e pontos especiais que ajudam a desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a função pode assumir sem problemas, ou seja, sem dividir por zero. Como estamos com
no denominador, precisamos garantir que
.
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos com os eixos. Começando com o intercepto
, que ocorre quando
:
Então, o intercepto
é
.
Para o intercepto
, que ocorre quando
:
Então, o intercepto
é
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, que já vimos ser
.
Para as assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Como os graus do numerador e denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
Então, temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Vamos calcular alguns pontos adicionais para ter mais referências no gráfico. Por exemplo, calculando
e
:
Para
:
Para
:
Assim, temos os pontos
e
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O domínio é
. - Intercepto
em e intercepto em . - Assíntota vertical em
e assíntota horizontal em . - Pontos adicionais em
e .
Desenhamos a assíntota vertical como uma linha pontilhada em
e a assíntota horizontal como uma linha pontilhada em
. Plotamos os pontos encontrados e desenhamos a curva que se aproxima dessas assíntotas sem nunca tocá-las.
Resposta
O gráfico da função
apresenta uma assíntota vertical em
, uma assíntota horizontal em
, interceptos em
e
, e passa pelos pontos adicionais
e
. A curva se aproxima das assíntotas sem tocá-las, formando duas ramas separadas.
Exercícios relacionados
Sobre a função
dada abaixo, foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira.
Assinale-a:
a) Seu gráfico tem a reta como uma assíntota vertical.
b) Seu gráfico tem a reta como uma assíntota vertical.
c) Seu gráfico passa pelo ponto
d)
e)
a) Seu gráfico tem a reta
b) Seu gráfico tem a reta
c) Seu gráfico passa pelo ponto
d)
e)
Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.
Dada a função
. Determine: A assíntota vertical no ponto de descontinuidade.
Dada a função
. Determine: faça o gráfico.