Dada a função
. Determine: faça o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na função que a gente tem aqui:
. O objetivo é fazer o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo de gráficos de funções racionais, como assíntotas, interceptos, domínio e comportamento geral da função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero:
Então, o domínio é todos os reais menos
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos do gráfico. Primeiro, o intercepto com o eixo Y ocorre quando
:
Então, temos um intercepto em (0, 0).
Para encontrar os interceptos com o eixo X, resolvemos
:
Portanto, o único intercepto X também é em (0, 0).
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função. Existem dois tipos principais de assíntotas: vertical e horizontal.
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero nesse ponto. Já vimos que
faz o denominador zero:
Então, temos uma assíntota vertical em
.
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Comparamos os graus do numerador e do denominador:
- Grau do numerador: 2 (de
) - Grau do denominador: 1 (de
)
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, temos uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, fazemos a divisão polinomial de
por
:
Então, a assíntota oblíqua é
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função nas regiões determinadas pelas assíntotas e pelos interceptos.
-
Para
: Escolhemos um valor, por exemplo, : A função passa pelo ponto (0, 0). -
Para
: Escolhemos um valor, por exemplo, : A função está crescendo conforme se aproxima da assíntota oblíqua. -
Próximo à assíntota vertical
: -
Quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ): -
Quando
se aproxima de 1 pela direita ( ):
-
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Marque o intercepto em (0, 0).
- Desenhe a assíntota vertical em
. - Desenhe a assíntota oblíqua
. - Desenhe a curva da função que se aproxima da assíntota vertical e da oblíqua conforme
aumenta ou diminui.
Resposta
O gráfico da função
apresenta uma assíntota vertical em
, uma assíntota oblíqua
, e passa pelo ponto (0, 0). A função tende a
quando
se aproxima de 1 pela esquerda e a
pela direita, além de se aproximar da linha
conforme
vai para mais ou menos infinito.