Dada a função f(x) = x^2 / (x - 1). Determine: faça o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na função que a gente tem aqui: . O objetivo é fazer o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo de gráficos de funções racionais, como assíntotas, interceptos, domínio e comportamento geral da função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero:
Então, o domínio é todos os reais menos .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos do gráfico. Primeiro, o intercepto com o eixo Y ocorre quando :
Então, temos um intercepto em (0, 0).
Para encontrar os interceptos com o eixo X, resolvemos :
Portanto, o único intercepto X também é em (0, 0).

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função. Existem dois tipos principais de assíntotas: vertical e horizontal.
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero nesse ponto. Já vimos que faz o denominador zero:
Então, temos uma assíntota vertical em .
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Comparamos os graus do numerador e do denominador:
  • Grau do numerador: 2 (de )
  • Grau do denominador: 1 (de )
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, temos uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, fazemos a divisão polinomial de por :
Então, a assíntota oblíqua é .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função nas regiões determinadas pelas assíntotas e pelos interceptos.
  • Para : Escolhemos um valor, por exemplo, :
    A função passa pelo ponto (0, 0).
  • Para : Escolhemos um valor, por exemplo, :
    A função está crescendo conforme se aproxima da assíntota oblíqua.
  • Próximo à assíntota vertical :
    • Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
    • Quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Marque o intercepto em (0, 0).
  2. Desenhe a assíntota vertical em .
  3. Desenhe a assíntota oblíqua .
  4. Desenhe a curva da função que se aproxima da assíntota vertical e da oblíqua conforme aumenta ou diminui.

Resposta

O gráfico da função apresenta uma assíntota vertical em , uma assíntota oblíqua , e passa pelo ponto (0, 0). A função tende a quando se aproxima de 1 pela esquerda e a pela direita, além de se aproximar da linha conforme vai para mais ou menos infinito.

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