Sobre a função
dada abaixo, foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira.
Assinale-a:
a) Seu gráfico tem a reta
como uma assíntota vertical.
b) Seu gráfico tem a reta
como uma assíntota vertical.
c) Seu gráfico passa pelo ponto
d)
e)
a) Seu gráfico tem a reta
b) Seu gráfico tem a reta
c) Seu gráfico passa pelo ponto
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa verificar qual das afirmações sobre o gráfico e os limites dessa função é verdadeira. Para isso, vamos usar conceitos de assíntotas, pontos do gráfico e cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são assíntotas. Uma assíntota vertical acontece quando o denominador da função se aproxima de zero, fazendo o valor da função tender ao infinito. Vamos encontrar onde isso acontece na nossa função.
Passo 3
O denominador da função é
. Para encontrar a assíntota vertical, resolvemos
, o que nos dá
. Então, a reta
é uma assíntota vertical da função
.
Passo 4
Agora, vamos conferir a opção a) que diz que a reta
é uma assíntota vertical. Como vimos, a assíntota vertical ocorre em
, não em
. Portanto, a opção a) está errada.
Passo 5
A opção b) afirma que a reta
é uma assíntota vertical. Mas
é uma reta horizontal, não vertical. Além disso, uma assíntota horizontal seria analisada diferente. Então, a opção b) também está errada.
Passo 6
Vamos verificar a opção c), que diz que o gráfico passa pelo ponto
. Substituindo
na função, temos
. Então, realmente, o gráfico passa pelo ponto
. Essa opção parece correta, mas precisamos conferir as outras para ter certeza.
Passo 7
A opção d) afirma que
. Vamos calcular esse limite:
Então,
, não
. A opção d) está errada.
Passo 8
Por fim, a opção e) diz que
. Vamos calcular esse limite:
Quando
se aproxima de
pela direita (
), o denominador
se aproxima de zero positivamente, e o numerador
se aproxima de
. Então:
Portanto, o limite não é 0, mas tende a menos infinito. A opção e) está errada.
Resposta
A afirmação verdadeira é a letra c) Seu gráfico passa pelo ponto
.
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Utilizando as regras estudadas, obtenha a derivada de cada função abaixo.
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Dada a função
. Determine: Faça o gráfico.
Dada a função
. Determine: A assíntota vertical no ponto de descontinuidade.