Dada a função , calcule utilizando a definição.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que nos foi pedido. Temos a função e precisamos calcular a derivada dessa função no ponto , ou seja, . Para isso, vamos utilizar a definição de derivada, que envolve calcular o limite de uma razão quando se aproxima de zero.

Passo 2

Segundo a definição de derivada,
No nosso caso, , então:

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo por na função:
Explicando, estamos avaliando a função em .

Passo 4

Vamos expandir :
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, calculamos :

Passo 6

Voltando à definição de derivada:

Passo 7

Simplificando a fração:
Agora, o limite se torna:

Resposta

Portanto, .

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Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
(e) .
Calcule as derivadas das funções (explique quais regras está utilizando).
Expresse e calcule no valor dado de :
(e) .