Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente essas expressões para obter as de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Lembre-se que, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar a segunda derivada parcial :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, derivamos em relação a para obter a segunda derivada parcial :

Passo 6

Também precisamos encontrar as derivadas cruzadas. Primeiro, derivamos em relação a :

Passo 7

Por último, derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções (explique quais regras está utilizando).
Calcule as derivadas das funções (explique quais regras está utilizando).
Dada a função , calcule utilizando a definição.
Expresse e calcule no valor dado de :
(e) .