Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente essas expressões para obter as de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
A derivada de
em relação a
é
, então aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar a segunda derivada parcial
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para obter a segunda derivada parcial
:
Passo 6
Também precisamos encontrar as derivadas cruzadas. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Passo 7
Por último, derivamos
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções (explique quais regras está utilizando).
Calcule as derivadas das funções (explique quais regras está utilizando).
Dada a função
, calcule
utilizando a definição.
Expresse
e calcule
no valor dado de
:
(e) .
(e)