Expresse e calcule no valor dado de :
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , e depois calcular esse valor quando . Para isso, vamos usar regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do produto, já que temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é dada por:
E sabemos que:
Então, é uma função de através de , e .

Passo 3

Para encontrar , vamos derivar cada parte de em relação a . Aplicando a derivada:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia:
Precisamos agora derivar em relação a .

Passo 6

Derivando :
Sabemos que e , então:
Substituindo:

Passo 7

Voltando à derivada de :
Então, juntando tudo:

Passo 8

Agora, vamos substituir , e calcular quando :
Sabemos que e , então:
E como :

Resposta

A derivada de em relação a no valor é .

Exercícios relacionados

Dada a função , calcule utilizando a definição.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
(e) .
Calcule as derivadas das funções (explique quais regras está utilizando).