Dada a funcão :
b) ponto) Ache as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 1.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto. Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, e a inclinação de retas perpendiculares são negativas reciprocais.
Como a inclinação da tangente é 1, a inclinação da normal será:

Passo 6

Usando a mesma fórmula da reta, com a inclinação da reta normal e o ponto :
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é e a reta normal é .

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c)
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