Dada a funcão
:
b)
ponto) Ache as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, substituímos
na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 1.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde
é a inclinação e
é o ponto. Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, e a inclinação de retas perpendiculares são negativas reciprocais.
Como a inclinação da tangente é 1, a inclinação da normal será:
Passo 6
Usando a mesma fórmula da reta, com a inclinação da reta normal e o ponto
:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
e a reta normal é
.
Exercícios relacionados
Dada a equação
, encontre
por diferenciação implícita.
Calcule a derivada da função dada:
c)
c)
Calcule a derivada da função dada:
d)i
d)i
Calcule a derivada da função dada:
a)
a)