Dada a funcão f(x) = x^2 / 4 :
a) (1,0 ponto) Usando a definição, determine a derivada de f(x) em x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função no ponto x = 2, usando a definição de derivada. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas usando o limite da definição. Para resolver, vamos precisar lembrar como aplicar a definição de derivada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função f em um ponto a é o limite quando h chega a zero de:
Isso basicamente nos diz a inclinação da função naquele ponto específico.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função no ponto x = 2. Vamos substituir a por 2 na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular e f(2):

Passo 5

Subtraindo f(2) de :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na definição da derivada:
Podemos simplificar dividindo cada termo no numerador por h:

Passo 7

Finalmente, calculamos o limite quando h tende a 0:

Resposta

A derivada de em x = 2 é igual a 1.

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