Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
E) (2 x - 5 y) dx + (4 x - y) dy = 0, com y(1) = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial é homogênea. Se for, a gente resolve. Para isso, vamos usar conceitos de funções homogêneas e substituições que facilitam a resolução de equações diferenciais. Vamos precisar checar a homogeneidade das funções envolvidas e, se for o caso, aplicar uma substituição para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial homogênea. Uma equação da forma é homogênea se as funções e são homogêneas do mesmo grau. Isso significa que se multiplicarmos e por um mesmo número , as funções e serão multiplicadas por , onde é o grau de homogeneidade.
Vamos verificar isso para nossa equação:
Vamos multiplicar e por :
Como ambos e são iguais a vezes as funções originais, a equação é homogênea de grau 1.

Passo 3

Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição . Isso ajuda a reduzir a equação diferencial para uma equação em termos de e , que geralmente é mais fácil de resolver.
Vamos definir . Agora, precisamos encontrar em termos de e :
Substituindo e na equação original:
Agora, substituímos por :
Simplificando:

Passo 4

Vamos expandir os termos:
Distribuindo:
Agora, agrupamos os termos com e :
Somando os coeficientes de :

Passo 5

Vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Rearranjando para isolar termos de e :
Agora, podemos separar as variáveis e :

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, simplificamos a fração do lado esquerdo. Para isso, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:
Vamos decompor a fração pelo método de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos substituir de volta na equação:
Para simplificar, podemos rearranjar os termos:

Passo 9

Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma nova constante.
Multiplicando ambos os lados por e rearranjando:

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo e :

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

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