Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as. E)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial é homogênea. Se for, a gente resolve. Para isso, vamos usar conceitos de funções homogêneas e substituições que facilitam a resolução de equações diferenciais. Vamos precisar checar a homogeneidade das funções envolvidas e, se for o caso, aplicar uma substituição para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial homogênea. Uma equação da forma é homogênea se as funções e são homogêneas do mesmo grau. Isso significa que se multiplicarmos e por um mesmo número , as funções e serão multiplicadas por , onde é o grau de homogeneidade. Vamos verificar isso para nossa equação: - - Vamos multiplicar e por : - - Como ambos e são iguais a vezes as funções originais, a equação é homogênea de grau 1.

Passo 3

Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição . Isso ajuda a reduzir a equação diferencial para uma equação em termos de e , que geralmente é mais fácil de resolver. Vamos definir . Agora, precisamos encontrar em termos de e : Substituindo e na equação original: Agora, substituímos por : Simplificando:

Passo 4

Vamos expandir os termos: Distribuindo: Agora, agrupamos os termos com e : Somando os coeficientes de :

Passo 5

Vamos dividir toda a equação por para simplificar: Rearranjando para isolar termos de e : Agora, podemos separar as variáveis e :

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, simplificamos a fração do lado esquerdo. Para isso, fatoramos o denominador: Então, a integral fica: Vamos decompor a fração pelo método de frações parciais: Multiplicando ambos os lados por : Para encontrar e , escolhemos valores de : - Se : - Se : Então: Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo: Integrando: Onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos substituir de volta na equação: Para simplificar, podemos rearranjar os termos:

Passo 9

Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos: Onde é uma nova constante. Multiplicando ambos os lados por e rearranjando:

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

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Resolva as seguintes equações:
Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as. A)
Resolva as seguintes equações:
Dada a função , faça o que se pede: (a) Calcule ; (b) Determine onde intercepta os eixos e ; (c) Com base nessas informações, tente esboçar o gráfico de .