Determine se as equações diferenciais a seguir são homogêneas. Se for, resolva-as.
E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial é homogênea. Se for, a gente resolve. Para isso, vamos usar conceitos de funções homogêneas e substituições que facilitam a resolução de equações diferenciais. Vamos precisar checar a homogeneidade das funções envolvidas e, se for o caso, aplicar uma substituição para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial homogênea. Uma equação da forma é homogênea se as funções e são homogêneas do mesmo grau. Isso significa que se multiplicarmos e por um mesmo número , as funções e serão multiplicadas por , onde é o grau de homogeneidade.
Vamos verificar isso para nossa equação:
-
-
Vamos multiplicar e por :
-
-
Como ambos e são iguais a vezes as funções originais, a equação é homogênea de grau 1.
Passo 3
Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição . Isso ajuda a reduzir a equação diferencial para uma equação em termos de e , que geralmente é mais fácil de resolver.
Vamos definir . Agora, precisamos encontrar em termos de e :
Substituindo e na equação original:
Agora, substituímos por :
Simplificando:
Passo 4
Vamos expandir os termos:
Distribuindo:
Agora, agrupamos os termos com e :
Somando os coeficientes de :
Passo 5
Vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Rearranjando para isolar termos de e :
Agora, podemos separar as variáveis e :
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, simplificamos a fração do lado esquerdo. Para isso, fatoramos o denominador:
Então, a integral fica:
Vamos decompor a fração pelo método de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
- Se :
- Se :
Então:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar cada termo:
Integrando:
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Vamos substituir de volta na equação:
Para simplificar, podemos rearranjar os termos:
Passo 9
Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma nova constante.
Multiplicando ambos os lados por e rearranjando:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo e :