Dada a funçâo
, determine ou faça o que se pede: Os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo ou para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre a função
e a gente precisa descobrir em quais intervalos o gráfico dela é côncavo para baixo ou para cima. Isso está no tema de derivadas, particularmente usando a segunda derivada para entender a concavidade do gráfico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, nos mostra o quão inclinada está a curva.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada
. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade do gráfico. Se a segunda derivada for positiva em um intervalo, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo. Se for negativa, é côncavo para baixo.
Derivando
, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar os pontos onde a segunda derivada é igual a zero, pois esses pontos podem ser onde a concavidade muda.
Resolvendo
:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada em torno do ponto
para determinar onde ela é positiva ou negativa.
-
Para
: - Escolhemos
:
Então, a concavidade é para baixo nesse intervalo. - Escolhemos
-
Para
: - Escolhemos
:
Então, a concavidade é para cima nesse intervalo. - Escolhemos
Resposta
O gráfico de
é côncavo para baixo no intervalo
e côncavo para cima no intervalo
.