Dada a funçâo f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1, determine ou faça o que se pede: Os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para baixo ou para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre a função e a gente precisa descobrir em quais intervalos o gráfico dela é côncavo para baixo ou para cima. Isso está no tema de derivadas, particularmente usando a segunda derivada para entender a concavidade do gráfico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função . A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, nos mostra o quão inclinada está a curva.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada . A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade do gráfico. Se a segunda derivada for positiva em um intervalo, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo. Se for negativa, é côncavo para baixo.
Derivando , temos:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar os pontos onde a segunda derivada é igual a zero, pois esses pontos podem ser onde a concavidade muda.
Resolvendo :

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada em torno do ponto para determinar onde ela é positiva ou negativa.
  • Para :
    • Escolhemos :
    Então, a concavidade é para baixo nesse intervalo.
  • Para :
    • Escolhemos :
    Então, a concavidade é para cima nesse intervalo.

Resposta

O gráfico de é côncavo para baixo no intervalo e côncavo para cima no intervalo .

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