Resolva cada uma dos PVIs seguintes: d y/d x = (x + x y) / (4 y), y(1) = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e passa pelo ponto . Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observe que o lado direito pode ser reescrito:
Agora, vamos reorganizar para separar as variáveis e . Multiplicamos ambos os lados por e :

Passo 3

A próxima etapa é separar completamente as variáveis e . Vamos dividir ambos os lados por :
Agora, temos de um lado e do outro, prontos para integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então e . Substituindo na integral:
Agora, integremos o lado direito:

Passo 5

Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante .

Passo 6

Substituindo e na equação:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação geral:
Podemos simplificar um pouco mais dividindo todos os termos por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Isso significa que a função que satisfaz a equação e a condição inicial está definida por essa relação.

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