Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e passa pelo ponto
. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Observe que o lado direito pode ser reescrito:
Agora, vamos reorganizar para separar as variáveis
e
. Multiplicamos ambos os lados por
e
:
Passo 3
A próxima etapa é separar completamente as variáveis
e
. Vamos dividir ambos os lados por
:
Agora, temos
de um lado e
do outro, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
e
. Substituindo na integral:
Agora, integremos o lado direito:
Passo 5
Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação geral:
Podemos simplificar um pouco mais dividindo todos os termos por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Isso significa que a função
que satisfaz a equação e a condição inicial está definida por essa relação.