Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
9.
9.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva dada pela função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco, que é parte do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de um arco de uma curva
entre dois pontos
e
:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A nossa função é:
Vamos derivar termo por termo:
- A derivada de 1 é 0.
- A derivada de
é .
Então, temos:
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula do comprimento de arco:
Sabemos que
, então podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Agora, a integral fica mais simples:
A integral de
é conhecida:
Passo 6
Vamos calcular a integral definida substituindo os limites:
Isso significa que a gente vai calcular:
Passo 7
Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro, para
:
Então:
Agora, para
:
Então:
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão para
:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Passo 9
Para obter um valor numérico, vamos calcular cada parte:
Primeiro,
Depois,
Então:
E o logaritmo natural de 1.545 é aproximadamente 0.436.
Resposta
O comprimento do arco da curva é aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Dada a função
:
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo , com
.
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo
Verifique que
, definida
, possui derivadas parciais de primeira ordem na origem.
Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
14. , de
até
14.
Dada a função
:
(b) Conforme fazemos P se aproximar de -1 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.
(b) Conforme fazemos P se aproximar de -1 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor-limite.