Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
9. y = 1 - ln(sen x), pi/6 <= x <= pi/4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva dada pela função no intervalo de até . Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco, que é parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de um arco de uma curva entre dois pontos e :
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . A nossa função é:
Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de é .
Então, temos:

Passo 4

Vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Sabemos que , então podemos simplificar a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Agora, a integral fica mais simples:
A integral de é conhecida:

Passo 6

Vamos calcular a integral definida substituindo os limites:
Isso significa que a gente vai calcular:

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro, para :
Então:
Agora, para :
Então:

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão para :
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:

Passo 9

Para obter um valor numérico, vamos calcular cada parte:
Primeiro,
Depois,
Então:
E o logaritmo natural de 1.545 é aproximadamente 0.436.

Resposta

O comprimento do arco da curva é aproximadamente unidades.

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