Dada a função
, determine: Concavidade do gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir a concavidade do gráfico dela. Isso faz parte do cálculo, mais especificamente do estudo da concavidade usando derivadas. Para isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a concavidade do gráfico de uma função está relacionada com a segunda derivada dessa função. Se a segunda derivada for positiva em um intervalo, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo. Se for negativa, é côncavo para baixo.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Para
, aplicamos a regra da derivação:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada:
Passo 5
Com a segunda derivada em mãos, podemos analisar a concavidade. Vamos resolver
:
Primeiro, podemos fatorar:
Passo 6
Vamos encontrar onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
:
Passo 7
Agora, vamos dividir a reta real em intervalos usando esses pontos críticos:
,
e
. Vamos testar um valor em cada intervalo para ver o sinal de
:
-
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, :
Resposta
O gráfico da função
é concavo para baixo nos intervalos
e
, e concavo para cima no intervalo
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine: Ponto máximo e ponto mínimo;
4 (EXTRA -5.0 pontos) Um sólido E està contido no cilindro
, abaixo do plano
acima do paraboloide
. A densidade em qualquer ponto e proporcional a distancia do ponto a eixo docilindro. Determine a massa de E.
Dada a função
, determine: Esboce o gráfico.
Dada a função
, determine: Ponto de inflexão;