Dada a função , determine: Concavidade do gráfico;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir a concavidade do gráfico dela. Isso faz parte do cálculo, mais especificamente do estudo da concavidade usando derivadas. Para isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a concavidade do gráfico de uma função está relacionada com a segunda derivada dessa função. Se a segunda derivada for positiva em um intervalo, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo. Se for negativa, é côncavo para baixo.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Para , aplicamos a regra da derivação:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada:

Passo 5

Com a segunda derivada em mãos, podemos analisar a concavidade. Vamos resolver :
Primeiro, podemos fatorar:

Passo 6

Vamos encontrar onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde :

Passo 7

Agora, vamos dividir a reta real em intervalos usando esses pontos críticos: , e . Vamos testar um valor em cada intervalo para ver o sinal de :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :

Resposta

O gráfico da função é concavo para baixo nos intervalos e , e concavo para cima no intervalo .

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Dada a função , determine: Ponto máximo e ponto mínimo;
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