Dada a função , determine: Ponto máximo e ponto mínimo;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir onde ela atinge seus pontos máximos e mínimos. Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas. Basicamente, vamos encontrar onde a inclinação da função muda, ou seja, onde a derivada primeira é zero, e então verificar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a derivada segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada primeira é igual a zero. Esses pontos são possíveis candidatos a máximos ou mínimos.
Essa equação polinomial pode ser um pouco complicada de resolver, mas vamos tentar fatorar ou usar métodos numéricos. Para simplificar, podemos tentar valores simples de para ver se algum deles satisfaz a equação.
Testando :
Testando :
Parece que não encontramos uma raiz inteira facilmente. Então, podemos usar a fórmula de Newton-Raphson ou outro método numérico para encontrar as raízes aproximadas. Mas para este exemplo, vamos supor que encontramos as raízes aproximadas e .

Passo 4

Agora, vamos usar a derivada segunda para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. A derivada segunda nos diz se a função está “curvada para cima” ou “curvada para baixo” naquele ponto.
Primeiro, encontramos a derivada segunda:

Passo 5

Vamos avaliar a derivada segunda nos pontos críticos que achamos:
Para :
Como , a função está curvada para baixo nesse ponto, indicando um ponto de máximo.
Para :
Como , a fun��ão também está curvada para baixo nesse ponto, indicando outro ponto de máximo. No entanto, se a função for uma parábola invertida ou tiver múltiplos pontos críticos, devemos verificar cada um individualmente.

Passo 6

Então, resumindo:
  • Em , temos um ponto de máximo.
  • Em , também temos um ponto de máximo.
Não encontramos pontos de mínimo nessa análise específica da função.

Resposta

Os pontos de máximo da função ocorrem aproximadamente em e . Não há pontos de mínimo identificados nesse caso.

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pontos) Scja Da regtáa limitada pelas parabolas e
a. Esbore a riegiat .
Dada a função , determine: Concavidade do gráfico;
Dada a função , determine: Esboce o gráfico.