Dada a função
, determine: Esboce o gráfico.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. O objetivo é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar analisar alguns aspectos importantes da função, como interceptos, comportamento para valores grandes de
, derivadas para entender onde a função cresce ou decresce, e pontos de inflexão para ver a concavidade do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico corta os eixos
e
.
Intercepto Y:
Para encontrar onde o gráfico corta o eixo
, definimos
:
Então, o intercepto
é no ponto
.
Interceptos X:
Para encontrar onde o gráfico corta o eixo
, resolvemos
:
Podemos fatorar
em comum:
Isso nos dá uma solução imediata:
. Agora, vamos resolver a equação
:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Testando valores, vemos que
é uma raiz, pois:
Fatorando
:
Resolvendo
:
Então, os interceptos
são
,
e
(com multiplicidade 2).
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada para entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
:
Essa equação é um pouco complicada para resolver sem calculadora, mas sabemos que os pontos onde a derivada muda de sinal indicam onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Esses pontos nos ajudam a identificar picos e vales no gráfico.
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade do gráfico.
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Então,
ou
. Esses pontos indicam onde a concavidade do gráfico muda.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de
:
- Quando
tende a :
Como o termo de maior grau é
,
tende a
.
- Quando
tende a :
Novamente, o termo
domina, e
tende a
.
Isso nos diz que as “caudas” do gráfico irão para baixo em ambas as direções.
Resposta
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de
. O gráfico passa pelos pontos
,
e
. Há pontos de inflexão em
e
, indicando onde a concavidade muda. A função tem picos e vales conforme os pontos críticos determinam onde ela cresce ou decresce. Por fim, as “caudas” do gráfico se dirigem para
em ambas as direções de
. Assim, o esboço mostrará uma curva que cruza os interceptos mencionados, com mudanças de concavidade e comportamento conforme analisado.
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine: Concavidade do gráfico;
Dada a função
, determine: Ponto máximo e ponto mínimo;
Dada a função
, determine: Ponto de inflexão;
Dada a função
, determine: Intervalos crescentes e decrescentes;