Dada a função , determine: Esboce o gráfico.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . O objetivo é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar analisar alguns aspectos importantes da função, como interceptos, comportamento para valores grandes de , derivadas para entender onde a função cresce ou decresce, e pontos de inflexão para ver a concavidade do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico corta os eixos e .
Intercepto Y:
Para encontrar onde o gráfico corta o eixo , definimos :
Então, o intercepto é no ponto .
Interceptos X:
Para encontrar onde o gráfico corta o eixo , resolvemos :
Podemos fatorar em comum:
Isso nos dá uma solução imediata: . Agora, vamos resolver a equação :
Multiplicando por -1 para facilitar:
Testando valores, vemos que é uma raiz, pois:
Fatorando :
Resolvendo :
Então, os interceptos são , e (com multiplicidade 2).

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada para entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos :
Essa equação é um pouco complicada para resolver sem calculadora, mas sabemos que os pontos onde a derivada muda de sinal indicam onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Esses pontos nos ajudam a identificar picos e vales no gráfico.

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade do gráfico.
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos :
Então, ou . Esses pontos indicam onde a concavidade do gráfico muda.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de :
  • Quando tende a :
Como o termo de maior grau é , tende a .
  • Quando tende a :
Novamente, o termo domina, e tende a .
Isso nos diz que as “caudas” do gráfico irão para baixo em ambas as direções.

Resposta

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de . O gráfico passa pelos pontos , e . Há pontos de inflexão em e , indicando onde a concavidade muda. A função tem picos e vales conforme os pontos críticos determinam onde ela cresce ou decresce. Por fim, as “caudas” do gráfico se dirigem para em ambas as direções de . Assim, o esboço mostrará uma curva que cruza os interceptos mencionados, com mudanças de concavidade e comportamento conforme analisado.

Exercícios relacionados

Dada a função , determine: Concavidade do gráfico;
Dada a função , determine: Ponto máximo e ponto mínimo;
Dada a função , determine: Ponto de inflexão;
Dada a função , determine: Intervalos crescentes e decrescentes;