4 (EXTRA -5.0 pontos) Um sólido E està contido no cilindro
, abaixo do plano
acima do paraboloide
. A densidade em qualquer ponto e proporcional a distancia do ponto a eixo docilindro. Determine a massa de E.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre calcular a massa de um sólido
que está dentro do cilindro
, abaixo do plano
e acima do paraboloide
. A densidade em cada ponto desse sólido é proporcional à distância desse ponto ao eixo do cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, já que o problema tem simetria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade
. A densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. No cilindro
, o eixo é o eixo
. A distância de um ponto
ao eixo
é dada por
. Então, podemos escrever a densidade como:
Onde
é a constante de proporcionalidade. Para simplificar, vamos considerar
, já que a massa será proporcional a essa densidade.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque o sólido tem simetria em torno do eixo
. Nas coordenadas cilíndricas,
,
e
. A densidade em coordenadas cilíndricas fica:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração. O cilindro
em coordenadas cilíndricas é simplesmente
. Portanto,
varia de 0 a 1.
Para
, como não há restrição angular, varia de 0 a
.
Em relação a
, ele está entre o paraboloide
e o plano
. Então,
varia de
a 4.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla que representa a massa
:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 7
Agora, integramos com respeito a
:
Calculando cada parte:
Então, somando:
Passo 8
Por último, vamos integrar com respeito a
:
Resposta
A massa do sólido
é
.
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, em que
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