4 (EXTRA -5.0 pontos) Um sólido E està contido no cilindro , abaixo do plano acima do paraboloide . A densidade em qualquer ponto e proporcional a distancia do ponto a eixo docilindro. Determine a massa de E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre calcular a massa de um sólido que está dentro do cilindro , abaixo do plano e acima do paraboloide . A densidade em cada ponto desse sólido é proporcional à distância desse ponto ao eixo do cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, já que o problema tem simetria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade . A densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. No cilindro , o eixo é o eixo . A distância de um ponto ao eixo é dada por . Então, podemos escrever a densidade como:
Onde é a constante de proporcionalidade. Para simplificar, vamos considerar , já que a massa será proporcional a essa densidade.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque o sólido tem simetria em torno do eixo . Nas coordenadas cilíndricas, , e . A densidade em coordenadas cilíndricas fica:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração. O cilindro em coordenadas cilíndricas é simplesmente . Portanto, varia de 0 a 1.
Para , como não há restrição angular, varia de 0 a .
Em relação a , ele está entre o paraboloide e o plano . Então, varia de a 4.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla que representa a massa :
Substituindo :

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 7

Agora, integramos com respeito a :
Calculando cada parte:
Então, somando:

Passo 8

Por último, vamos integrar com respeito a :

Resposta

A massa do sólido é .

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