Dada a função
, determine: Ponto de inflexão;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de inflexão da função dada, que é
. Os pontos de inflexão são aqueles pontos onde a curva muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos dá a inclinação da curva em cada ponto
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, precisamos da segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Passo 4
Os pontos de inflexão acontecem onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe. Vamos resolver
:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Precisamos verificar se nesses valores de
realmente ocorre uma mudança na concavidade. Isso significa verificar o sinal da segunda derivada antes e depois de cada ponto.
Para
:
-
Escolha um valor menor que 0, digamos
: -
Escolha um valor maior que 0, digamos
:
Como a segunda derivada muda de positiva para negativa,
é um ponto de inflexão.
Para
:
-
Escolha um valor menor que
, digamos : -
Escolha um valor maior que
, digamos :
Aqui, a segunda derivada muda de negativa para positiva, então
também é um ponto de inflexão.
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas completas dos pontos de inflexão calculando
para cada valor de
encontrado.
Para
:
Então, um ponto de inflexão é
.
Para
:
Vamos calcular passo a passo:
Somando tudo:
Então, o outro ponto de inflexão é
.
Resposta
Os pontos de inflexão da função
são:
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Dada a função
, determine: Esboce o gráfico.
Dada a função
, determine: Concavidade do gráfico;
Dada a função
, determine: Intervalos crescentes e decrescentes;
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