Dada a função , determine: Ponto de inflexão;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de inflexão da função dada, que é . Os pontos de inflexão são aqueles pontos onde a curva muda de “côncava para cima” para “côncava para baixo” ou vice-versa. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos dá a inclinação da curva em cada ponto . A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos da segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:

Passo 4

Os pontos de inflexão acontecem onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe. Vamos resolver :
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Precisamos verificar se nesses valores de realmente ocorre uma mudança na concavidade. Isso significa verificar o sinal da segunda derivada antes e depois de cada ponto.
Para :
  • Escolha um valor menor que 0, digamos :
  • Escolha um valor maior que 0, digamos :
Como a segunda derivada muda de positiva para negativa, é um ponto de inflexão.
Para :
  • Escolha um valor menor que , digamos :
  • Escolha um valor maior que , digamos :
Aqui, a segunda derivada muda de negativa para positiva, então também é um ponto de inflexão.

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas completas dos pontos de inflexão calculando para cada valor de encontrado.
Para :
Então, um ponto de inflexão é .
Para :
Vamos calcular passo a passo:
Somando tudo:
Então, o outro ponto de inflexão é .

Resposta

Os pontos de inflexão da função são:

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