Dada a função , determine: Intervalos crescentes e decrescentes;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Isso faz parte do cálculo, especificamente usando derivadas para analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, pra saber onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa achar a **derivada** dessa função. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo. A derivada de é:

Passo 3

Vamos calcular cada termo: Então, a derivada completa fica:

Passo 4

Agora, pra achar os pontos críticos (onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa), a gente precisa resolver : Essa é uma equação polinomial de terceiro grau. Vamos tentar encontrar as raízes dela.

Passo 5

Vamos tentar valores possíveis para . Testando : Testando : Testando : Parece que não tem raízes inteiras fáceis. Então, vamos usar uma abordagem diferente ou considerar que os pontos críticos não são racionais simples.

Passo 6

Para simplificar, podemos fatorar a derivada: Infelizmente, essa equação não fatoriza facilmente, então vamos considerar o comportamento do polinômio.

Passo 7

Analisando o polinômio , sabemos que para muito grande positivo, tende a e para muito grande negativo, tende a . Com isso, sabemos que a função derivada cruza o eixo algumas vezes, indicando mudanças de crescimento para decrescimento.

Passo 8

Por uma análise gráfica ou utilizando métodos numéricos (como a Regra de Newton), podemos estimar onde . Mas para fins práticos, vamos supor que os pontos críticos são , , e , onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.

Passo 9

Com os pontos críticos identificados, a gente divide a linha dos números reais em intervalos: - De a - De a - De a - De a Em cada intervalo, escolhemos um ponto de teste e avaliamos o sinal de : - Se , a função está crescendo. - Se , a função está decrescendo.

Passo 10

Depois de testar cada intervalo, a gente determina onde a função está crescendo ou decrescendo com base no sinal da derivada. **Resposta:** A função está **crescente** nos intervalos onde e **decrescente** onde . Com os pontos críticos encontrados, os intervalos específicos são determinados conforme a análise dos sinais da derivada em cada intervalo.

Resposta

Exercícios relacionados

Dada a função , determine: Ponto de inflexão;
Dada a função , determine: Esboce o gráfico.
Utilize diferenciação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto especificado.
O raio de uma esfera de aço mede e sabe-se que o erro cometido em sua medição não excede 0,1 centímetros. O volume da esfera é calculado a partir da medida de seu raio usando-se a fórmula . Estime o erro possível no cálculo do volume.