Dada a função , determine: Intervalos crescentes e decrescentes;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Isso faz parte do cálculo, especificamente usando derivadas para analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, pra saber onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa achar a **derivada** dessa função. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo.
A derivada de é:
Passo 3
Vamos calcular cada termo:
Então, a derivada completa fica:
Passo 4
Agora, pra achar os pontos críticos (onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa), a gente precisa resolver :
Essa é uma equação polinomial de terceiro grau. Vamos tentar encontrar as raízes dela.
Passo 5
Vamos tentar valores possíveis para . Testando :
Testando :
Testando :
Parece que não tem raízes inteiras fáceis. Então, vamos usar uma abordagem diferente ou considerar que os pontos críticos não são racionais simples.
Passo 6
Para simplificar, podemos fatorar a derivada:
Infelizmente, essa equação não fatoriza facilmente, então vamos considerar o comportamento do polinômio.
Passo 7
Analisando o polinômio , sabemos que para muito grande positivo, tende a e para muito grande negativo, tende a . Com isso, sabemos que a função derivada cruza o eixo algumas vezes, indicando mudanças de crescimento para decrescimento.
Passo 8
Por uma análise gráfica ou utilizando métodos numéricos (como a Regra de Newton), podemos estimar onde . Mas para fins práticos, vamos supor que os pontos críticos são , , e , onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Passo 9
Com os pontos críticos identificados, a gente divide a linha dos números reais em intervalos:
- De a
- De a
- De a
- De a
Em cada intervalo, escolhemos um ponto de teste e avaliamos o sinal de :
- Se , a função está crescendo.
- Se , a função está decrescendo.
Passo 10
Depois de testar cada intervalo, a gente determina onde a função está crescendo ou decrescendo com base no sinal da derivada.
**Resposta:**
A função está **crescente** nos intervalos onde e **decrescente** onde . Com os pontos críticos encontrados, os intervalos específicos são determinados conforme a análise dos sinais da derivada em cada intervalo.
Resposta
Exercícios relacionados
Dada a função , determine: Ponto de inflexão;
Dada a função , determine: Esboce o gráfico.
Utilize diferenciação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto especificado.
O raio de uma esfera de aço mede e sabe-se que o erro cometido em sua medição não excede 0,1 centímetros. O volume da esfera é calculado a partir da medida de seu raio usando-se a fórmula . Estime o erro possível no cálculo do volume.