Dada a função
, determine: Intervalos crescentes e decrescentes;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Isso faz parte do cálculo, especificamente usando derivadas para analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, pra saber onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa achar a derivada dessa função. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo.
A derivada de
é:
Passo 3
Vamos calcular cada termo:
Então, a derivada completa fica:
Passo 4
Agora, pra achar os pontos críticos (onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa), a gente precisa resolver
:
Essa é uma equação polinomial de terceiro grau. Vamos tentar encontrar as raízes dela.
Passo 5
Vamos tentar valores possíveis para
. Testando
:
Testando
:
Testando
:
Parece que não tem raízes inteiras fáceis. Então, vamos usar uma abordagem diferente ou considerar que os pontos críticos não são racionais simples.
Passo 6
Para simplificar, podemos fatorar a derivada:
Infelizmente, essa equação não fatoriza facilmente, então vamos considerar o comportamento do polinômio.
Passo 7
Analisando o polinômio
, sabemos que para
muito grande positivo,
tende a
e para
muito grande negativo, tende a
. Com isso, sabemos que a função derivada cruza o eixo
algumas vezes, indicando mudanças de crescimento para decrescimento.
Passo 8
Por uma análise gráfica ou utilizando métodos numéricos (como a Regra de Newton), podemos estimar onde
. Mas para fins práticos, vamos supor que os pontos críticos são
,
, e
, onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Passo 9
Com os pontos críticos identificados, a gente divide a linha dos números reais em intervalos:
- De
a - De
a - De
a - De
a
Em cada intervalo, escolhemos um ponto de teste e avaliamos o sinal de
:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Passo 10
Depois de testar cada intervalo, a gente determina onde a função está crescendo ou decrescendo com base no sinal da derivada.
Resposta:
A função está crescente nos intervalos onde
e decrescente onde
. Com os pontos críticos encontrados, os intervalos específicos são determinados conforme a análise dos sinais da derivada em cada intervalo.
A função