Dada a função f(x)=(3+x)/(x+2), calcule f'(2) utilizando a definição.

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de calcular a derivada da função no ponto , usando a definição de derivada. Para isso, a gente vai precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição matemática dela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação da função quando o incremento tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função no ponto . Primeiro, vamos calcular :
E já sabemos que é:

Passo 4

Substituindo esses valores na definição da derivada, temos:
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

A derivada de no ponto é .

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